Cálculo Exemplos

$f (x) = {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{5}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = {(2 x - 9)}^{4}$ e $g (x) = {(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

${(2 x - 9)}^{4} \frac{d}{d x} [{(x^{2} + x + 1)}^{5}] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{5}$ e $g (x) = x^{2} + x + 1$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 9)}^{4} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 5$ .

${(2 x - 9)}^{4} (5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + x + 1$ .

${(2 x - 9)}^{4} (5 {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

Mova $5$ para a esquerda de ${(2 x - 9)}^{4}$ .

$5 \cdot {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} \frac{d}{d x} [x^{2} + x + 1] + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + \frac{d}{d x} [1]) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1 + 0) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 3.6

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} \frac{d}{d x} [{(2 x - 9)}^{4}]$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 2 x - 9$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x - 9$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{4}] \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {u_{2}}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x - 9$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + {(x^{2} + x + 1)}^{5} (4 {(2 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Mova $4$ para a esquerda de ${(x^{2} + x + 1)}^{5}$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 \cdot {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x - 9]$

Etapa 5.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 5.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 5.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Etapa 5.6

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} (2 + 0)$

Etapa 5.7

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.7.1

Some $2$ e $0$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 4 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3} \cdot 2$

Etapa 5.7.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Fatore ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de $5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$ .

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Etapa 6.1.1

Fatore ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de $5 {(2 x - 9)}^{4} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (2 x + 1)$ .

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + 8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$

Etapa 6.1.2

Fatore ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de $8 {(x^{2} + x + 1)}^{5} {(2 x - 9)}^{3}$ .

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + {(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$

Etapa 6.1.3

Fatore ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4}$ de ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1)) + {(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$

Etapa 6.2

Reordene os fatores de ${(2 x - 9)}^{3} {(x^{2} + x + 1)}^{4} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$ .

${(x^{2} + x + 1)}^{4} {(2 x - 9)}^{3} (5 (2 x - 9) (2 x + 1) + 8 (x^{2} + x + 1))$