Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{\sin (\frac{π}{4}) - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.5.1.1

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \cos (\frac{π}{4})}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.5.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.5.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{\sqrt{2} - \sqrt{2}}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.5.3

Subtraia $\sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.2.5.4

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{lim_{x \to \frac{π}{4}} \tan (x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - lim_{x \to \frac{π}{4}} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$\frac{0}{\tan (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$\frac{0}{\tan (\frac{π}{4}) - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

O valor exato de $\tan (\frac{π}{4})$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\sin (x) - \cos (x)}{\tan (x) - 1} = lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x) - \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sin (x) - \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- \cos (x)]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (x)]}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3.4.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) - - \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + 1 \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3.4.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x) - 1]}$

Etapa 1.3.5

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\tan (x) - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{d}{d x} [\tan (x)] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.6

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x) + 0}$

Etapa 1.3.8

Simplifique.

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Etapa 1.3.8.1

Some $\sec^{2} (x)$ e $0$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\sec^{2} (x)}$

Etapa 1.3.8.2

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{{(\frac{1}{\cos (x)})}^{2}}$

Etapa 1.3.8.3

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.3.8.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \frac{\cos (x) + \sin (x)}{\frac{1}{\cos^{2} (x)}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to \frac{π}{4}} (\cos (x) + \sin (x)) \cos^{2} (x)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + \sin (x) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\frac{π}{4}$ .

$(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.3

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + lim_{x \to \frac{π}{4}} \sin (x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.4

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos^{2} (x)$

Etapa 2.5

Mova o expoente $2$ de $\cos^{2} (x)$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot {(lim_{x \to \frac{π}{4}} \cos (x))}^{2}$

Etapa 2.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$(\cos (lim_{x \to \frac{π}{4}} x) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $\frac{π}{4}$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (lim_{x \to \frac{π}{4}} x)$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $\frac{π}{4}$ por $x$ .

$(\cos (\frac{π}{4}) + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \sin (\frac{π}{4})) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 4.1.2

O valor exato de $\sin (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 4.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} + \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 4.3

Some $\sqrt{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 4.4.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} \cdot \cos^{2} (\frac{π}{4})$

Etapa 4.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}$

Etapa 4.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 4.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}$

Etapa 4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}$

Etapa 4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}$

Etapa 4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2^{1}}{2^{2}}$

Etapa 4.7.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{2^{2}}$

Etapa 4.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2}{4}$

Etapa 4.9

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 4.9.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 4.9.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2} \cdot \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 4.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}$

Etapa 4.10

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\sqrt{2}}{2}$

Forma decimal:

$0.70710678 \dots$