Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 0} {(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)}$ como $e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$ .

$lim_{x \to 0} e^{\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(1 + \sin (4 x))}^{\cot (x)})$ movendo $\cot (x)$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 0} e^{\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Etapa 2

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 0} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))}$

Etapa 3

Considere o valor crítico esquerdo.

$lim_{x \to 0^{-}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Etapa 4

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ - 0.1 & 4.91697664 \\ - 0.01 & 4.08095239 \\ - 0.001 & 4.00800935 \\ - 0.0001 & 4.00080009 \\ - 0.00001 & 4.00008 \\ - 0.000001 & 4.000008 \end{array}$

Etapa 5

À medida que os valores de $x$ se aproximam de $0$ , os valores da função se aproximam de $4$ . Portanto, o limite de $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da esquerda é $4$ .

$4$

Etapa 6

Considere o valor crítico direito.

$lim_{x \to 0^{+}} \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$

Etapa 7

Crie uma tabela para mostrar o comportamento da função $\cot (x) \ln (1 + \sin (4 x))$ à medida que $x$ se aproxima de $0$ a partir da direita.

$\begin{array}{c} x & \cot (x) \ln (1 + \sin (4 x)) \\ 0.1 & 3.27788185 \\ 0.01 & 3.92091504 \\ 0.001 & 3.99200931 \\ 0.0001 & 3.99920009 \\ 0.00001 & 3.99992 \\ 0.000001 & 3.99999199 \end{array}$

Etapa 8

$e^{4}$

Etapa 9

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{4}$

Forma decimal:

$54.59815003 \dots$