Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\ln (5 x)}{\sqrt{5 x}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \ln (5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Etapa 2

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$\frac{\ln (lim_{x \to 8} 5 x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Etapa 3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{lim_{x \to 8} \sqrt{5 x}}$

Etapa 4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{lim_{x \to 8} 5 x}}$

Etapa 5

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\ln (5 lim_{x \to 8} x)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 lim_{x \to 8} x}}$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\ln (5 \cdot 8)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{5 \cdot 8}}$

Etapa 7.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $5$ por $8$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{40}}$

Etapa 7.2.2

Reescreva $40$ como $2^{2} \cdot 10$ .

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Etapa 7.2.2.1

Fatore $4$ de $40$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{4 (10)}}$

Etapa 7.2.2.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$\frac{\ln (40)}{\sqrt{2^{2} \cdot 10}}$

Etapa 7.2.3

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$

Etapa 7.3

Multiplique $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}} \cdot \frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$

Etapa 7.4

Combine e simplifique o denominador.

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Etapa 7.4.1

Multiplique $\frac{\ln (40)}{2 \sqrt{10}}$ por $\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{10}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \sqrt{10} \sqrt{10}}$

Etapa 7.4.2

Mova $\sqrt{10}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 (\sqrt{10} \sqrt{10})}$

Etapa 7.4.3

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} \sqrt{10})}$

Etapa 7.4.4

Eleve $\sqrt{10}$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 ({\sqrt{10}}^{1} {\sqrt{10}}^{1})}$

Etapa 7.4.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{1 + 1}}$

Etapa 7.4.6

Some $1$ e $1$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {\sqrt{10}}^{2}}$

Etapa 7.4.7

Reescreva ${\sqrt{10}}^{2}$ como $10$ .

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Etapa 7.4.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{10}$ como $10^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 {(10^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 7.4.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 7.4.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.4.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 7.4.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10^{1}}$

Etapa 7.4.7.5

Avalie o expoente.

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{2 \cdot 10}$

Etapa 7.5

Multiplique $2$ por $10$ .

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{\ln (40) \sqrt{10}}{20}$

Forma decimal:

$0.58326305 \dots$