Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{lim_{θ \to 0} \frac{1}{2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.5

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.6

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - lim_{θ \to 0} \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.1.7

Avalie o limite de $\frac{1}{2}$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{\frac{1}{2 + \sin (0)} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{\frac{1}{2 + 0} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Some $2$ e $0$ .

$\frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\frac{1 - 1}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.3

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{\frac{0}{2}}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.2.3.4

Divida $0$ por $2$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{0}{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{0}{\sin (0)}$

Etapa 1.1.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}}{\sin (θ)} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2 + \sin (θ)} - \frac{1}{2}$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d θ} [\frac{1}{2 + \sin (θ)}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Reescreva $\frac{1}{2 + \sin (θ)}$ como ${(2 + \sin (θ))}^{- 1}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [{(2 + \sin (θ))}^{- 1}] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ é $f' (g (θ)) g' (θ)$ , em que $f (θ) = θ^{- 1}$ e $g (θ) = 2 + \sin (θ)$ .

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Etapa 1.3.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- u^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 + \sin (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \frac{d}{d θ} [2 + \sin (θ)] + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \sin (θ)$ com relação a $θ$ é $\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (\frac{d}{d θ} [2] + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $2$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $2$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \frac{d}{d θ} [\sin (θ)]) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3.5

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} (0 + \cos (θ)) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.3.6

Some $0$ e $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + \frac{d}{d θ} [- \frac{1}{2}]}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.4

Como $- \frac{1}{2}$ é constante em relação a $θ$ , a derivada de $- \frac{1}{2}$ em relação a $θ$ é $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- {(2 + \sin (θ))}^{- 2} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

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Etapa 1.3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cos (θ) + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.5.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.5.2.1

Combine $\cos (θ)$ e $\frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} + 0}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.5.2.2

Some $- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ e $0$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}$

Etapa 1.3.6

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{- \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}}{\cos (θ)}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}} \cdot \frac{1}{\cos (θ)}$

Etapa 1.5

Multiplique $\frac{1}{\cos (θ)}$ por $\frac{\cos (θ)}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$ .

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 1.6

Cancele o fator comum de $\cos (θ)$ .

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Etapa 1.6.1

Cancele o fator comum.

$lim_{θ \to 0} - \frac{\cos (θ)}{\cos (θ) {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 1.6.2

Reescreva a expressão.

$lim_{θ \to 0} - \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $- 1$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $θ$ .

$- lim_{θ \to 0} \frac{1}{{(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{lim_{θ \to 0} 1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{lim_{θ \to 0} {(2 + \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de ${(2 + \sin (θ))}^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $θ$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{{(lim_{θ \to 0} 2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $θ$ se aproxima de $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + lim_{θ \to 0} \sin (θ))}^{2}}$

Etapa 2.7

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$- \frac{1}{{(2 + \sin (lim_{θ \to 0} θ))}^{2}}$

Etapa 3

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$- \frac{1}{{(2 + \sin (0))}^{2}}$

Etapa 4

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- \frac{1}{{(2 + 0)}^{2}}$

Etapa 4.2

Some $2$ e $0$ .

$- \frac{1}{2^{2}}$

Etapa 4.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{1}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{1}{4}$

Forma decimal:

$- 0.25$