Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} x \tan (\frac{π}{x})$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \tan (\frac{π}{x})$

Etapa 2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois a tangente é contínua.

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (lim_{x \to 8} \frac{π}{x})$

Etapa 3

Mova o termo $π$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π lim_{x \to 8} \frac{1}{x})$

Etapa 4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 5

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$lim_{x \to 8} x \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 6

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{lim_{x \to 8} x})$

Etapa 6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$8 \cdot \tan (π \frac{1}{8})$

Etapa 7

Simplifique a resposta.

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Etapa 7.1

Combine $π$ e $\frac{1}{8}$ .

$8 \cdot \tan (\frac{π}{8})$

Etapa 7.2

O valor exato de $\tan (\frac{π}{8})$ é $\sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$ .

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Etapa 7.2.1

Reescreva $\frac{π}{8}$ como um ângulo em que os valores das seis funções trigonométricas são conhecidos e divididos por $2$ .

$8 \cdot \tan (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Etapa 7.2.2

Aplique a fórmula do arco metade da tangente.

$8 \cdot (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}})$

Etapa 7.2.3

Altere o $\pm$ para $+$ , porque a tangente é positiva no primeiro quadrante.

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Etapa 7.2.4

Simplifique $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$ .

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Etapa 7.2.4.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Etapa 7.2.4.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Etapa 7.2.4.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \cos (\frac{π}{4})}}$

Etapa 7.2.4.4

O valor exato de $\cos (\frac{π}{4})$ é $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 7.2.4.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 7.2.4.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \cdot \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}}$

Etapa 7.2.4.7

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Etapa 7.2.4.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.8.1

Cancele o fator comum.

$8 \cdot \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}}$

Etapa 7.2.4.8.2

Reescreva a expressão.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{1}{2 + \sqrt{2}}}$

Etapa 7.2.4.9

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) (\frac{1}{2 + \sqrt{2}} \cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}})}$

Etapa 7.2.4.10

Multiplique $\frac{1}{2 + \sqrt{2}}$ por $\frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{(2 + \sqrt{2}) (2 - \sqrt{2})}}$

Etapa 7.2.4.11

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{4 - 2 \sqrt{2} + \sqrt{2} \cdot 2 - {\sqrt{2}}^{2}}}$

Etapa 7.2.4.12

Simplifique.

$8 \cdot \sqrt{(2 - \sqrt{2}) \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.13

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.14.1

Cancele o fator comum.

$8 \cdot \sqrt{2 \frac{2 - \sqrt{2}}{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.14.2

Reescreva a expressão.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} \frac{2 - \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.15

Combine $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ e $\sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{(2 - \sqrt{2}) \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.4.16.1

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - \sqrt{2} \sqrt{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.2

Multiplique $- \sqrt{2} \sqrt{2}$ .

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Etapa 7.2.4.16.2.1

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2})}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.2.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - ({\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1})}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{1 + 1}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.2.4

Some $1$ e $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {\sqrt{2}}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.2.4.16.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 7.2.4.16.3.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.3.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.3.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.3.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 7.2.4.16.3.1.4.1

Cancele o fator comum.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{\frac{2}{2}}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.3.1.4.2

Reescreva a expressão.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2^{1}}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.3.1.5

Avalie o expoente.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 1 \cdot 2}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.3.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 \sqrt{2} - 2}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.4

Cancele o fator comum de $2 \sqrt{2} - 2$ e $2$ .

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Etapa 7.2.4.16.4.1

Fatore $2$ de $2 \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) - 2}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.4.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2}) + 2 \cdot - 1}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.4.3

Fatore $2$ de $2 (\sqrt{2}) + 2 (- 1)$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2}}$

Etapa 7.2.4.16.4.4

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 7.2.4.16.4.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 (1)}}$

Etapa 7.2.4.16.4.4.2

Cancele o fator comum.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{2 (\sqrt{2} - 1)}{2 \cdot 1}}$

Etapa 7.2.4.16.4.4.3

Reescreva a expressão.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \frac{\sqrt{2} - 1}{1}}$

Etapa 7.2.4.16.4.4.4

Divida $\sqrt{2} - 1$ por $1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - (\sqrt{2} - 1)}$

Etapa 7.2.4.16.5

Aplique a propriedade distributiva.

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} - - 1}$

Etapa 7.2.4.16.6

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2} - \sqrt{2} + 1}$

Etapa 7.2.4.17

Some $2$ e $1$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - \sqrt{2} - \sqrt{2}}$

Etapa 7.2.4.18

Subtraia $\sqrt{2}$ de $- \sqrt{2}$ .

$8 \cdot \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$8 \sqrt{3 - 2 \sqrt{2}}$

Forma decimal:

$3.31370849 \dots$