Cálculo Exemplos

$x e^{x}$

Etapa 1

Escreva $x e^{x}$ como uma função.

$f (x) = x e^{x}$

Etapa 2

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 2.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Etapa 3

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x e^{x} + e^{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x e^{x}] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x e^{x}) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x e^{x}]$ .

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Etapa 3.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{x}) + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 3.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 3.2.4

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + \frac{d}{d x} (e^{x})$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = x e^{x} + e^{x} + e^{x}$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Some $e^{x}$ e $e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 3.4.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = e^{x} x + 2 e^{x}$

Etapa 3.4.3

Reordene os fatores em $e^{x} x + 2 e^{x}$ .

$f'' (x) = x e^{x} + 2 e^{x}$

Etapa 4

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Etapa 5

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 5.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 5.1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x e^{x} + e^{x} \cdot 1$

Etapa 5.1.3.2

Multiplique $e^{x}$ por $1$ .

$f' (x) = x e^{x} + e^{x}$

Etapa 5.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x e^{x} + e^{x}$ .

$x e^{x} + e^{x}$

Etapa 6

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $x e^{x} + e^{x} = 0$ .

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Etapa 6.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$x e^{x} + e^{x} = 0$

Etapa 6.2

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x} + e^{x}$ .

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Etapa 6.2.1

Fatore $e^{x}$ de $x e^{x}$ .

$e^{x} x + e^{x} = 0$

Etapa 6.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{x} x + e^{x} \cdot 1 = 0$

Etapa 6.2.3

Fatore $e^{x}$ de $e^{x} x + e^{x} \cdot 1$ .

$e^{x} (x + 1) = 0$

Etapa 6.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

$x + 1 = 0$

Etapa 6.4

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.4.1

Defina $e^{x}$ como igual a $0$ .

$e^{x} = 0$

Etapa 6.4.2

Resolva $e^{x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{x}) = \ln (0)$

Etapa 6.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 6.4.2.3

Não há uma solução para $e^{x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 6.5

Defina $x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.5.1

Defina $x + 1$ como igual a $0$ .

$x + 1 = 0$

Etapa 6.5.2

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$x = - 1$

Etapa 6.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{x} (x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = - 1$

Etapa 7

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 7.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 8

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$(- 1) e^{- 1} + 2 e^{- 1}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 1 \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Etapa 10.1.2

Reescreva $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 e^{- 1}$

Etapa 10.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Etapa 10.1.4

Combine $2$ e $\frac{1}{e}$ .

$- \frac{1}{e} + \frac{2}{e}$

Etapa 10.2

Combine frações.

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Etapa 10.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- 1 + 2}{e}$

Etapa 10.2.2

Some $- 1$ e $2$ .

$\frac{1}{e}$

Etapa 11

$x = - 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = (- 1) \cdot e^{- 1}$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = - 1 \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 12.2.2

Reescreva $- 1 \frac{1}{e}$ como $- \frac{1}{e}$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{e}$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- \frac{1}{e}$ .

$y = - \frac{1}{e}$

Etapa 13

Esses são os extremos locais para $f (x) = x e^{x}$ .

$(- 1, - \frac{1}{e})$ é um mínimo local

Etapa 14