Cálculo Exemplos

$x^{2} + y^{3} - x + 5 y = 3$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} + y^{3} - x + 5 y) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{3} - x + 5 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + \frac{d}{d x} [5 y]$

Etapa 2.4

Avalie $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

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Etapa 2.4.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 y$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Etapa 2.4.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 3 y^{2} y' - 1 + 5 y'$

Etapa 2.5

Reordene os termos.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1$

Etapa 3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$3 y^{2} y' + 2 x + 5 y' - 1 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 5 y' - 1 = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$3 y^{2} y' + 5 y' = - 2 x + 1$

Etapa 5.2

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y' + 5 y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $y'$ de $3 y^{2} y'$ .

$y' (3 y^{2}) + 5 y' = - 2 x + 1$

Etapa 5.2.2

Fatore $y'$ de $5 y'$ .

$y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5 = - 2 x + 1$

Etapa 5.2.3

Fatore $y'$ de $y' (3 y^{2}) + y' \cdot 5$ .

$y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ por $3 y^{2} + 5$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $y' (3 y^{2} + 5) = - 2 x + 1$ por $3 y^{2} + 5$ .

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $3 y^{2} + 5$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (3 y^{2} + 5)}{3 y^{2} + 5} = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{3 y^{2} + 5} + \frac{1}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- 2 x + 1}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.3.2

Fatore $- 1$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{- (2 x) + 1}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.3.3

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x) - 1 (- 1)}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.3.4

Fatore $- 1$ de $- (2 x) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.5.1

Reescreva $- (2 x - 1)$ como $- 1 (2 x - 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (2 x - 1)}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 5.3.3.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 x - 1}{3 y^{2} + 5}$