Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{x^{2} - 2 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{4} + lim_{x \to 2} 3 x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $4$ de $x^{4}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + lim_{x \to 2} 3 x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} 10 x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.5

Mova o termo $10$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 lim_{x \to 2} x^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.6

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.7

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 10 {(lim_{x \to 2} x)}^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{4} + 3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.8.1.1

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{16 + 3 \cdot 2^{3} - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{16 + 3 \cdot 8 - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$\frac{16 + 24 - 10 \cdot 2^{2}}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{16 + 24 - 10 \cdot 4}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.1.5

Multiplique $- 10$ por $4$ .

$\frac{16 + 24 - 40}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.2

Some $16$ e $24$ .

$\frac{40 - 40}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.2.8.3

Subtraia $40$ de $40$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - 2 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 2 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 2 lim_{x \to 2} x}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{2} - 2 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{4 - 2 \cdot 2}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.5.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}}{x^{2} - 2 x} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} + 3 x^{3} - 10 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 10 \frac{d}{d x} [x^{2}]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 10 (2 x)}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{2 x - 2}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + 9 x^{2} - 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} 4 x^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 2} x^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + lim_{x \to 2} 9 x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Etapa 2.5

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Etapa 2.6

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 20 x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Etapa 2.7

Mova o termo $20$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 2 x - 2}$

Etapa 2.8

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{lim_{x \to 2} 2 x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 2.9

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - lim_{x \to 2} 2}$

Etapa 2.10

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 2} x)}^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 lim_{x \to 2} x}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{2 lim_{x \to 2} x - 1 \cdot 2}$

Etapa 3.4

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{2 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2$ e $2 \cdot 2 - 1 \cdot 2$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 1$ de $2 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2) - 1 \cdot 2}$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 2$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2) - 1 (2)}$

Etapa 4.1.3

Fatore $- 1$ de $- (- 2 \cdot 2) - 1 (2)$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $- (- 2 \cdot 2 + 2)$ como $- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)$ .

$\frac{4 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 4.1.5

Fatore $2$ de $4 \cdot 2^{3}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 9 \cdot 2^{2} - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 4.1.6

Fatore $2$ de $9 \cdot 2^{2}$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (9 \cdot 2) - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 4.1.7

Fatore $2$ de $2 (2 \cdot 2^{3}) + 2 (9 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) - 20 \cdot 2}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 4.1.8

Fatore $2$ de $- 20 \cdot 2$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) + 2 (- 10 \cdot 2)}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 4.1.9

Fatore $2$ de $2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2) + 2 (- 10 \cdot 2)$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)}$

Etapa 4.1.10

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.10.1

Fatore $2$ de $- 1 (- 2 \cdot 2 + 2)$ .

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{2 (- 1 (- 1 \cdot 2 + 1))}$

Etapa 4.1.10.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2)}{2 (- 1 (- 1 \cdot 2 + 1))}$

Etapa 4.1.10.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 4.2.1.1

Multiplique $2$ por $2^{3}$ .

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Etapa 4.2.1.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$\frac{2^{1} \cdot 2^{3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{2^{1 + 3} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2.1.2

Some $1$ e $3$ .

$\frac{2^{4} + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2.2

Eleve $2$ à potência de $4$ .

$\frac{16 + 9 \cdot 2 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $9$ por $2$ .

$\frac{16 + 18 - 10 \cdot 2}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $- 10$ por $2$ .

$\frac{16 + 18 - 20}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2.5

Some $16$ e $18$ .

$\frac{34 - 20}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.2.6

Subtraia $20$ de $34$ .

$\frac{14}{- 1 (- 1 \cdot 2 + 1)}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{14}{- 1 (- 2 + 1)}$

Etapa 4.3.2

Some $- 2$ e $1$ .

$\frac{14}{- 1 \cdot - 1}$

Etapa 4.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{14}{1}$

Etapa 4.5

Divida $14$ por $1$ .

$14$