Cálculo Exemplos

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{50} - x + b}{x - b}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{50} - x + b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{lim_{x \to b} {(x - b)}^{50} - lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $50$ de ${(x - b)}^{50}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{50} - lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{50} - lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.4

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{50} - lim_{x \to b} x + lim_{x \to b} b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{{(lim_{x \to b} x - b)}^{50} - lim_{x \to b} x + b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $b$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{50} - lim_{x \to b} x + b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$\frac{{(b - b)}^{50} - b + b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Combine os termos opostos em ${(b - b)}^{50} - b + b$ .

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Subtraia $b$ de $b$ .

$\frac{0^{50} - b + b}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Some $- b$ e $b$ .

$\frac{0^{50} + 0}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Some $0^{50}$ e $0$ .

$\frac{0^{50}}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.2.7.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$\frac{0}{lim_{x \to b} x - b}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$\frac{0}{b - b}$

Etapa 1.1.3.3

Subtraia $b$ de $b$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to b} \frac{{(x - b)}^{50} - x + b}{x - b} = lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{50} - x + b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{50} - x + b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de ${(x - b)}^{50} - x + b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{50}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{50}] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [{(x - b)}^{50}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{50}$ e $g (x) = x - b$ .

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Etapa 1.3.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{\frac{d}{d u} [u^{50}] \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 50$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 u^{49} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - b$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} \frac{d}{d x} [x - b] + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} (1 + \frac{d}{d x} [- b]) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.4

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.3.6

Multiplique $50$ por $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} + \frac{d}{d x} [- x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1 + \frac{d}{d x} [b]}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.5

Como $b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $b$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1 + 0}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.6

Some $50 {(x - b)}^{49} - 1$ e $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1}{\frac{d}{d x} [x - b]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - b$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- b]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1}{1 + \frac{d}{d x} [- b]}$

Etapa 1.3.9

Como $- b$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- b$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1}{1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to b} \frac{50 {(x - b)}^{49} - 1}{1}$

Etapa 1.4

Divida $50 {(x - b)}^{49} - 1$ por $1$ .

$lim_{x \to b} 50 {(x - b)}^{49} - 1$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$lim_{x \to b} 50 {(x - b)}^{49} - lim_{x \to b} 1$

Etapa 2.2

Mova o termo $50$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$50 lim_{x \to b} {(x - b)}^{49} - lim_{x \to b} 1$

Etapa 2.3

Mova o expoente $49$ de ${(x - b)}^{49}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$50 {(lim_{x \to b} x - b)}^{49} - lim_{x \to b} 1$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $b$ .

$50 {(lim_{x \to b} x - lim_{x \to b} b)}^{49} - lim_{x \to b} 1$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $b$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$50 {(lim_{x \to b} x - b)}^{49} - lim_{x \to b} 1$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $b$ .

$50 {(lim_{x \to b} x - b)}^{49} - 1 \cdot 1$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $b$ por $x$ .

$50 {(b - b)}^{49} - 1 \cdot 1$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Subtraia $b$ de $b$ .

$50 \cdot 0^{49} - 1 \cdot 1$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$50 \cdot 0 - 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.2

Multiplique $50$ por $0$ .

$0 - 1 \cdot 1$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 - 1$

Etapa 4.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$- 1$