Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\ln (x))}^{\frac{1}{x}}$ como $e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\ln (x))}^{\frac{1}{x}})$ movendo $\frac{1}{x}$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{\frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \ln (\ln (x))}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} \frac{1}{x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot lim_{x \to 8} \ln (\ln (x))}$

Etapa 2.5

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (lim_{x \to 8} \ln (x))}$

Etapa 2.6

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{\frac{1}{lim_{x \to 8} x} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (lim_{x \to 8} x))}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{\frac{1}{8} \cdot \ln (\ln (8))}$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{8}$ e $\ln (\ln (8))$ .

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$e^{\frac{\ln (\ln (8))}{8}}$

Forma decimal:

$1.09583038 \dots$