Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} {(\frac{x}{x + 1})}^{x}$

Etapa 1

Use as propriedades dos logaritmos para simplificar o limite.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(\frac{x}{x + 1})}^{x}$ como $e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to 8} e^{\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})}$

Etapa 1.2

Expanda $\ln ({(\frac{x}{x + 1})}^{x})$ movendo $x$ para fora do logaritmo.

$lim_{x \to 8} e^{x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite para o expoente.

$e^{lim_{x \to 8} x \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do produto dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot lim_{x \to 8} \ln (\frac{x}{x + 1})}$

Etapa 2.3

Mova o limite para dentro do logaritmo.

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (lim_{x \to 8} \frac{x}{x + 1})}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + lim_{x \to 8} 1})}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$e^{lim_{x \to 8} x \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{lim_{x \to 8} x}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{lim_{x \to 8} x + 1})}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$e^{8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique $8 \cdot \ln (\frac{8}{8 + 1})$ movendo $8$ para dentro do logaritmo.

$e^{\ln ({(\frac{8}{8 + 1})}^{8})}$

Etapa 4.2

Potenciação e logaritmo são funções inversas.

${(\frac{8}{8 + 1})}^{8}$

Etapa 4.3

Some $8$ e $1$ .

${(\frac{8}{9})}^{8}$

Etapa 4.4

Aplique a regra do produto a $\frac{8}{9}$ .

$\frac{8^{8}}{9^{8}}$

Etapa 4.5

Eleve $8$ à potência de $8$ .

$\frac{16777216}{9^{8}}$

Etapa 4.6

Eleve $9$ à potência de $8$ .

$\frac{16777216}{43046721}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{16777216}{43046721}$

Forma decimal:

$0.38974434 \dots$