Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt{9 x^{2} + 16}}{2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt{9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 8} 9 x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 4

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\sqrt{9 lim_{x \to 8} x^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + lim_{x \to 8} 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 6

Avalie o limite de $16$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 7

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{lim_{x \to 8} 2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 8

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + lim_{x \to 8} \sqrt{x^{3} + 1}}$

Etapa 9

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + 1}}$

Etapa 10

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{lim_{x \to 8} x^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 11

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + lim_{x \to 8} 1}}$

Etapa 12

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt{9 {(lim_{x \to 8} x)}^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Etapa 13

Avalie os limites substituindo $8$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 13.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{{(lim_{x \to 8} x)}^{3} + 1}}$

Etapa 13.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 8^{2} + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Etapa 14

Simplifique a resposta.

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Etapa 14.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 14.1.1

Eleve $8$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{9 \cdot 64 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Etapa 14.1.2

Multiplique $9$ por $64$ .

$\frac{\sqrt{576 + 16}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Etapa 14.1.3

Some $576$ e $16$ .

$\frac{\sqrt{592}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Etapa 14.1.4

Reescreva $592$ como $4^{2} \cdot 37$ .

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Etapa 14.1.4.1

Fatore $16$ de $592$ .

$\frac{\sqrt{16 (37)}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Etapa 14.1.4.2

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} \cdot 37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Etapa 14.1.5

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{8^{3} + 1}}$

Etapa 14.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 14.2.1

Eleve $8$ à potência de $3$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{512 + 1}}$

Etapa 14.2.2

Some $512$ e $1$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{513}}$

Etapa 14.2.3

Reescreva $513$ como $3^{2} \cdot 57$ .

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Etapa 14.2.3.1

Fatore $9$ de $513$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{9 (57)}}$

Etapa 14.2.3.2

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + \sqrt{3^{2} \cdot 57}}$

Etapa 14.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$

Etapa 14.3

Multiplique $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}} \cdot \frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$

Etapa 14.4

Multiplique $\frac{4 \sqrt{37}}{2 + 3 \sqrt{57}}$ por $\frac{2 - 3 \sqrt{57}}{2 - 3 \sqrt{57}}$ .

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{(2 + 3 \sqrt{57}) (2 - 3 \sqrt{57})}$

Etapa 14.5

Expanda o denominador usando o método FOIL.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{4 - 6 \sqrt{57} + 6 \sqrt{57} - 9 {\sqrt{57}}^{2}}$

Etapa 14.6

Simplifique.

$\frac{4 \sqrt{37} (2 - 3 \sqrt{57})}{- 509}$

Etapa 14.7

Agrupe $2 - 3 \sqrt{57}$ e $\sqrt{37}$ .

$\frac{4 ((2 - 3 \sqrt{57}) \sqrt{37})}{- 509}$

Etapa 14.8

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{57} \sqrt{37})}{- 509}$

Etapa 14.9

Multiplique $- 3 \sqrt{57} \sqrt{37}$ .

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Etapa 14.9.1

Combine usando a regra do produto para radicais.

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{37 \cdot 57})}{- 509}$

Etapa 14.9.2

Multiplique $37$ por $57$ .

$\frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{- 509}$

Etapa 14.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{4 (2 \sqrt{37} - 3 \sqrt{2109})}{509}$

Forma decimal:

$0.98708074 \dots$