Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 8} \frac{x^{\frac{1}{3}} - 2}{x - 8}$

Etapa 1

Reescreva $x^{\frac{1}{3}}$ como $\sqrt[3]{x}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}$

Etapa 2

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{lim_{x \to 8} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - lim_{x \to 8} 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2.1.3

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{\sqrt[3]{lim_{x \to 8} x} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{\sqrt[3]{8} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.3.1.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{\sqrt[3]{2^{3}} - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{2 - 1 \cdot 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 - 2}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.2.3.2

Subtraia $2$ de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 8}$

Etapa 2.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - lim_{x \to 8} 8}$

Etapa 2.1.3.1.2

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 8} x - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 8}$

Etapa 2.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{0}{8 - 8}$

Etapa 2.1.3.3.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 8} \frac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8} = lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{x} - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 2]}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.4

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.5.2.2

Some $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x - 8]}$

Etapa 2.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 2.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1 + \frac{d}{d x} [- 8]}$

Etapa 2.3.8

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1 + 0}$

Etapa 2.3.9

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 8} \frac{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}{1}$

Etapa 2.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 8} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} \cdot 1$

Etapa 2.5

Multiplique $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ por $1$ .

$lim_{x \to 8} \frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Mova o termo $\frac{1}{3}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{1}{3} lim_{x \to 8} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{lim_{x \to 8} 1}{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $8$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{lim_{x \to 8} x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 3.4

Mova o expoente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{{(lim_{x \to 8} x)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4

Avalie o limite de $x$ substituindo $8$ por $x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Combine.

$\frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.2

Multiplique $1$ por $1$ .

$\frac{1}{3 \cdot 8^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{1}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 5.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{3 \cdot 2^{3 (\frac{2}{3})}}$

Etapa 5.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{3 \cdot 2^{2}}$

Etapa 5.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{3 \cdot 4}$

Etapa 5.4

Multiplique $3$ por $4$ .

$\frac{1}{12}$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{12}$

Forma decimal:

$0.08\overline{3}$