Cálculo Exemplos

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ}$

Etapa 1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{θ \to 0} \sin (θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Etapa 1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{θ \to 0} θ)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Etapa 1.2.2

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{θ \to 0} θ}$

Etapa 1.2.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{θ \to 0} θ}$

Etapa 1.3

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{θ \to 0} \frac{\sin (θ)}{θ} = lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Etapa 3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{θ \to 0} \frac{\frac{d}{d θ} [\sin (θ)]}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Etapa 3.2

A derivada de $\sin (θ)$ em relação a $θ$ é $\cos (θ)$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{\frac{d}{d θ} [θ]}$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d θ} [θ^{n}]$ é $n θ^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{θ \to 0} \frac{\cos (θ)}{1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

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Etapa 4.1

Divida $\cos (θ)$ por $1$ .

$lim_{θ \to 0} \cos (θ)$

Etapa 4.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{θ \to 0} θ)$

Etapa 5

Avalie o limite de $θ$ substituindo $0$ por $θ$ .

$\cos (0)$

Etapa 6

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$