Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 6} \frac{\sin (x - 6)}{x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 6} \sin (x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{\sin (6 - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\sin (6 - 6)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} + 3 x - 54}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 6} x^{2} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} 54}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + lim_{x \to 6} 3 x - lim_{x \to 6} 54}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 54}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $54$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 6} x)}^{2} + 3 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 54}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{0}{6^{2} + 3 lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 54}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{0}{6^{2} + 3 \cdot 6 - 1 \cdot 54}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $6$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{36 + 3 \cdot 6 - 1 \cdot 54}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $3$ por $6$ .

$\frac{0}{36 + 18 - 1 \cdot 54}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $54$ .

$\frac{0}{36 + 18 - 54}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $36$ e $18$ .

$\frac{0}{54 - 54}$

Etapa 1.1.3.6.3

Subtraia $54$ de $54$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 6} \frac{\sin (x - 6)}{x^{2} + 3 x - 54} = lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 6)]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 6$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 6$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) \frac{d}{d x} [x - 6]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 6$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (1 + \frac{d}{d x} [- 6])}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\cos (x - 6)$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 3 x - 54]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 3 x - 54$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 54]}$

Etapa 1.3.11

Como $- 54$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 54$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3 + 0}$

Etapa 1.3.12

Some $2 x + 3$ e $0$ .

$lim_{x \to 6} \frac{\cos (x - 6)}{2 x + 3}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{lim_{x \to 6} \cos (x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Etapa 2.2

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - lim_{x \to 6} 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $6$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + 3}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{lim_{x \to 6} 2 x + lim_{x \to 6} 3}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{2 lim_{x \to 6} x + lim_{x \to 6} 3}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $3$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $6$ .

$\frac{\cos (lim_{x \to 6} x - 1 \cdot 6)}{2 lim_{x \to 6} x + 3}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $6$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6)}{2 lim_{x \to 6} x + 3}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $6$ por $x$ .

$\frac{\cos (6 - 1 \cdot 6)}{2 \cdot 6 + 3}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$\frac{\cos (6 - 6)}{2 \cdot 6 + 3}$

Etapa 4.1.2

Subtraia $6$ de $6$ .

$\frac{\cos (0)}{2 \cdot 6 + 3}$

Etapa 4.1.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 6 + 3}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $6$ .

$\frac{1}{12 + 3}$

Etapa 4.2.2

Some $12$ e $3$ .

$\frac{1}{15}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{15}$

Forma decimal:

$0.0\overline{6}$