Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 64} \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 64} \sqrt{x} - 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $64$ .

$\frac{lim_{x \to 64} \sqrt{x} - lim_{x \to 64} 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 64} x} - lim_{x \to 64} 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $64$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 64} x} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $64$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{64} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.2.3.1.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{\sqrt{8^{2}} - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{8 - 1 \cdot 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$\frac{8 - 8}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $8$ de $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $64$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 64} \sqrt[3]{x} - lim_{x \to 64} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 64} x} - lim_{x \to 64} 4}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $64$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{lim_{x \to 64} x} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $64$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{64} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.3.3.1.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$\frac{0}{\sqrt[3]{4^{3}} - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 64} \frac{\sqrt{x} - 8}{\sqrt[3]{x} - 4} = lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} - 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 8]}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.5.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.5.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.5.2.2

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x} - 4]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt[3]{x} - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt[3]{x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.9.2.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2.2

Some $\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 64} \frac{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}{\frac{1}{3 x^{\frac{2}{3}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 64} \frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{1}{2 \sqrt{x}} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Combine $3$ e $\frac{1}{2 \sqrt{x}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{3}{2 \sqrt{x}} x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1.6.2

Combine $\frac{3}{2 \sqrt{x}}$ e $x^{\frac{2}{3}}$ .

$lim_{x \to 64} \frac{3 x^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{x}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Mova o termo $\frac{3}{2}$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{3}{2} lim_{x \to 64} \frac{x^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{x}}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $64$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{lim_{x \to 64} x^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 64} \sqrt{x}}$

Etapa 2.3

Mova o expoente $\frac{2}{3}$ de $x^{\frac{2}{3}}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 64} x)}^{\frac{2}{3}}}{lim_{x \to 64} \sqrt{x}}$

Etapa 2.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{{(lim_{x \to 64} x)}^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 64} x}}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $64$ por todas as ocorrências de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $64$ por $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{64^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{lim_{x \to 64} x}}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $64$ por $x$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{64^{\frac{2}{3}}}{\sqrt{64}}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine.

$\frac{3 \cdot 64^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{64}}$

Etapa 4.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Reescreva $64$ como $4^{3}$ .

$\frac{3 \cdot {(4^{3})}^{\frac{2}{3}}}{2 \sqrt{64}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 4^{3 (\frac{2}{3})}}{2 \sqrt{64}}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 \cdot 4^{3 (\frac{2}{3})}}{2 \sqrt{64}}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 \cdot 4^{2}}{2 \sqrt{64}}$

Etapa 4.2.4

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{3 \cdot 16}{2 \sqrt{64}}$

Etapa 4.3

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Reescreva $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{3 \cdot 16}{2 \sqrt{8^{2}}}$

Etapa 4.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{3 \cdot 16}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.4

Multiplique $3$ por $16$ .

$\frac{48}{2 \cdot 8}$

Etapa 4.5

Multiplique $2$ por $8$ .

$\frac{48}{16}$

Etapa 4.6

Divida $48$ por $16$ .

$3$