Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 9 x - 5}{3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - 9 x - 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 2 x^{2} - lim_{x \to 5} 9 x - lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 9 x - lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 9 x - lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{2 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 9 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} - 9 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{2 \cdot 25 - 9 \cdot 5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Multiplique $2$ por $25$ .

$\frac{50 - 9 \cdot 5 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $- 9$ por $5$ .

$\frac{50 - 45 - 1 \cdot 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{50 - 45 - 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $45$ de $50$ .

$\frac{5 - 5}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.2.7.3

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} 3 x^{3} - lim_{x \to 5} 8 x^{2} - lim_{x \to 5} 35 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 lim_{x \to 5} x^{3} - lim_{x \to 5} 8 x^{2} - lim_{x \to 5} 35 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{3} - lim_{x \to 5} 8 x^{2} - lim_{x \to 5} 35 x}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 8 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 35 x}$

Etapa 1.1.3.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 35 x}$

Etapa 1.1.3.6

Mova o termo $35$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{3 {(lim_{x \to 5} x)}^{3} - 8 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 35 lim_{x \to 5} x}$

Etapa 1.1.3.7

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.7.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 5^{3} - 8 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 35 lim_{x \to 5} x}$

Etapa 1.1.3.7.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 5^{3} - 8 \cdot 5^{2} - 35 lim_{x \to 5} x}$

Etapa 1.1.3.7.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{3 \cdot 5^{3} - 8 \cdot 5^{2} - 35 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.8

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.8.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.8.1.1

Eleve $5$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{3 \cdot 125 - 8 \cdot 5^{2} - 35 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.8.1.2

Multiplique $3$ por $125$ .

$\frac{0}{375 - 8 \cdot 5^{2} - 35 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.8.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{375 - 8 \cdot 25 - 35 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.8.1.4

Multiplique $- 8$ por $25$ .

$\frac{0}{375 - 200 - 35 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.8.1.5

Multiplique $- 35$ por $5$ .

$\frac{0}{375 - 200 - 175}$

Etapa 1.1.3.8.2

Subtraia $200$ de $375$ .

$\frac{0}{175 - 175}$

Etapa 1.1.3.8.3

Subtraia $175$ de $175$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.9

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{2 x^{2} - 9 x - 5}{3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x - 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2} - 9 x - 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 9 x - 5$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x + \frac{d}{d x} [- 9 x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 9 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 9 x$ em relação a $x$ é $- 9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 9$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9 + \frac{d}{d x} [- 5]}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9 + 0}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.6

Some $4 x - 9$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{\frac{d}{d x} [3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{3} - 8 x^{2} - 35 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 35 x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{\frac{d}{d x} [3 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 35 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{3}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{3}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{3 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 35 x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{3 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 35 x]}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $3$ por $3$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{9 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 35 x]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{9 x^{2} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 35 x]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{9 x^{2} - 8 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 35 x]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{9 x^{2} - 16 x + \frac{d}{d x} [- 35 x]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- 35 x]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 35$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 35 x$ em relação a $x$ é $- 35 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{9 x^{2} - 16 x - 35 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{9 x^{2} - 16 x - 35 \cdot 1}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $- 35$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{4 x - 9}{9 x^{2} - 16 x - 35}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 4 x - 9}{lim_{x \to 5} 9 x^{2} - 16 x - 35}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} 4 x - lim_{x \to 5} 9}{lim_{x \to 5} 9 x^{2} - 16 x - 35}$

Etapa 2.3

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 9}{lim_{x \to 5} 9 x^{2} - 16 x - 35}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{4 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 5} 9 x^{2} - 16 x - 35}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{4 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{lim_{x \to 5} 9 x^{2} - lim_{x \to 5} 16 x - lim_{x \to 5} 35}$

Etapa 2.6

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{9 lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 16 x - lim_{x \to 5} 35}$

Etapa 2.7

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{9 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 16 x - lim_{x \to 5} 35}$

Etapa 2.8

Mova o termo $16$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{9 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 35}$

Etapa 2.9

Avalie o limite de $35$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{4 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 9}{9 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 35}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 5 - 1 \cdot 9}{9 {(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 16 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 35}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 5 - 1 \cdot 9}{9 \cdot 5^{2} - 16 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 35}$

Etapa 3.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 5 - 1 \cdot 9}{9 \cdot 5^{2} - 16 \cdot 5 - 1 \cdot 35}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $4$ por $5$ .

$\frac{20 - 1 \cdot 9}{9 \cdot 5^{2} - 16 \cdot 5 - 1 \cdot 35}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$\frac{20 - 9}{9 \cdot 5^{2} - 16 \cdot 5 - 1 \cdot 35}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $9$ de $20$ .

$\frac{11}{9 \cdot 5^{2} - 16 \cdot 5 - 1 \cdot 35}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{11}{9 \cdot 25 - 16 \cdot 5 - 1 \cdot 35}$

Etapa 4.2.2

Multiplique $9$ por $25$ .

$\frac{11}{225 - 16 \cdot 5 - 1 \cdot 35}$

Etapa 4.2.3

Multiplique $- 16$ por $5$ .

$\frac{11}{225 - 80 - 1 \cdot 35}$

Etapa 4.2.4

Multiplique $- 1$ por $35$ .

$\frac{11}{225 - 80 - 35}$

Etapa 4.2.5

Subtraia $80$ de $225$ .

$\frac{11}{145 - 35}$

Etapa 4.2.6

Subtraia $35$ de $145$ .

$\frac{11}{110}$

Etapa 4.3

Cancele o fator comum de $11$ e $110$ .

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Etapa 4.3.1

Fatore $11$ de $11$ .

$\frac{11 (1)}{110}$

Etapa 4.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.3.2.1

Fatore $11$ de $110$ .

$\frac{11 \cdot 1}{11 \cdot 10}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{11 \cdot 1}{11 \cdot 10}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{10}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{10}$

Forma decimal:

$0.1$