Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 - lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{4 - lim_{x \to 4} x}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 1.1.2.3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 5 - \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} 5 - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{5 - lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.3.1.3

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.3.1.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9}}$

Etapa 1.1.3.1.5

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{5 - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9}}$

Etapa 1.1.3.1.6

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{4^{2} + 9}}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{16 + 9}}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Some $16$ e $9$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{25}}$

Etapa 1.1.3.3.1.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{0}{5 - \sqrt{5^{2}}}$

Etapa 1.1.3.3.1.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0}{5 - 1 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$\frac{0}{5 - 5}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $5$ de $5$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{5 - \sqrt{x^{2} + 9}} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 - x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 + \frac{d}{d x} [- x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - \frac{d}{d x} [x]}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 1 \cdot 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{0 - 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.5

Subtraia $1$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5 - \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \sqrt{x^{2} + 9}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.7

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- \sqrt{x^{2} + 9}]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x^{2} + 9}$ como ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 + \frac{d}{d x} [- {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}]}$

Etapa 1.3.8.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = x^{2} + 9$ .

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Etapa 1.3.8.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2} + 9$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

Etapa 1.3.8.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

Etapa 1.3.8.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2} + 9$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 9])}$

Etapa 1.3.8.4

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9]))}$

Etapa 1.3.8.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [9]))}$

Etapa 1.3.8.6

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 x + 0))}$

Etapa 1.3.8.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 x + 0))}$

Etapa 1.3.8.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))}$

Etapa 1.3.8.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 x + 0))}$

Etapa 1.3.8.10

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.8.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 x + 0))}$

Etapa 1.3.8.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{\frac{- 1}{2}} (2 x + 0))}$

Etapa 1.3.8.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x + 0))}$

Etapa 1.3.8.12

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{1}{2} {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} (2 x))}$

Etapa 1.3.8.13

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} (2 x))}$

Etapa 1.3.8.14

Combine $2$ e $\frac{{(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - (\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)}$

Etapa 1.3.8.15

Combine $\frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 {(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}} x}{2}}$

Etapa 1.3.8.16

Mova ${(x^{2} + 9)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.17

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{2 x}{2 {(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.8.18

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{0 - \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.3.9

Subtraia $\frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}$ de $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{- 1}{- \frac{x}{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 4} - - \frac{{(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}}{x}$

Etapa 1.5

Reescreva ${(x^{2} + 9)}^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x^{2} + 9}$ .

$lim_{x \to 4} - - \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

Etapa 1.6

Combine os fatores.

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Etapa 1.6.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 4} 1 \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

Etapa 1.6.2

Multiplique $\frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\sqrt{x^{2} + 9}}{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} \sqrt{x^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 2.4

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sqrt{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} + 9}}{lim_{x \to 4} x}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{\sqrt{4^{2} + 9}}{4}$

Etapa 4

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{16 + 9}}{4}$

Etapa 4.2

Some $16$ e $9$ .

$\frac{\sqrt{25}}{4}$

Etapa 4.3

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{\sqrt{5^{2}}}{4}$

Etapa 4.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{5}{4}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{5}{4}$

Forma decimal:

$1.25$