Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $25$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{5^{2} - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.3.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{25 - 1 \cdot 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.2.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $25$ .

$\frac{25 - 25}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - 5 x}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 5} x^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - lim_{x \to 5} 5 x}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $5$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 5} x)}^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{5^{2} - 5 lim_{x \to 5} x}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$\frac{0}{5^{2} - 5 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{25 - 5 \cdot 5}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $- 5$ por $5$ .

$\frac{0}{25 - 25}$

Etapa 1.1.3.5.2

Subtraia $25$ de $25$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 5} \frac{x^{2} - 25}{x^{2} - 5 x} = lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2} - 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 25$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + \frac{d}{d x} [- 25]}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 25$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 25$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

Etapa 1.3.5

Some $2 x$ e $0$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2} - 5 x]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x + \frac{d}{d x} [- 5 x]}$

Etapa 1.3.8

Avalie $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Etapa 1.3.8.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x - 5 \frac{d}{d x} [x]}$

Etapa 1.3.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x - 5 \cdot 1}$

Etapa 1.3.8.3

Multiplique $- 5$ por $1$ .

$lim_{x \to 5} \frac{2 x}{2 x - 5}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 5} \frac{x}{2 x - 5}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x - 5}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{lim_{x \to 5} 2 x - lim_{x \to 5} 5}$

Etapa 2.4

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x - lim_{x \to 5} 5}$

Etapa 2.5

Avalie o limite de $5$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $5$ .

$2 \frac{lim_{x \to 5} x}{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $5$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$2 \frac{5}{2 lim_{x \to 5} x - 1 \cdot 5}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $5$ por $x$ .

$2 \frac{5}{2 \cdot 5 - 1 \cdot 5}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Cancele o fator comum de $5$ e $2 \cdot 5 - 1 \cdot 5$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $- 1$ de $2 \cdot 5$ .

$2 \frac{5}{- (- 2 \cdot 5) - 1 \cdot 5}$

Etapa 4.1.2

Fatore $- 1$ de $- 1 \cdot 5$ .

$2 \frac{5}{- (- 2 \cdot 5) - 1 (5)}$

Etapa 4.1.3

Fatore $- 1$ de $- (- 2 \cdot 5) - 1 (5)$ .

$2 \frac{5}{- (- 2 \cdot 5 + 5)}$

Etapa 4.1.4

Reescreva $- (- 2 \cdot 5 + 5)$ como $- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)$ .

$2 \frac{5}{- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)}$

Etapa 4.1.5

Fatore $5$ de $5$ .

$2 \frac{5 \cdot 1}{- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)}$

Etapa 4.1.6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.1.6.1

Fatore $5$ de $- 1 (- 2 \cdot 5 + 5)$ .

$2 \frac{5 \cdot 1}{5 (- 1 (- 2 + 1))}$

Etapa 4.1.6.2

Cancele o fator comum.

$2 \frac{5 \cdot 1}{5 (- 1 (- 2 + 1))}$

Etapa 4.1.6.3

Reescreva a expressão.

$2 \frac{1}{- 1 (- 2 + 1)}$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $1$ e $- 1$ .

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Etapa 4.2.1

Reescreva $1$ como $- 1 (- 1)$ .

$2 \frac{- 1 (- 1)}{- 1 (- 2 + 1)}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{1}{- 2 + 1})$

Etapa 4.3

Some $- 2$ e $1$ .

$2 (- \frac{1}{- 1})$

Etapa 4.4

Divida $1$ por $- 1$ .

$2 (- - 1)$

Etapa 4.5

Multiplique $2 (- - 1)$ .

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Etapa 4.5.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$