Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 4 x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 4 lim_{x \to 2} x + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{2^{3} - 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{8 - 2^{2} - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{8 - 1 \cdot 4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{8 - 4 - 4 \cdot 2 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Multiplique $- 4$ por $2$ .

$\frac{8 - 4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{4 - 8 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.7.3

Subtraia $8$ de $4$ .

$\frac{- 4 + 4}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.2.7.4

Some $- 4$ e $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - x^{2} - 8 x + 12}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 2} x^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $3$ de $x^{3}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - lim_{x \to 2} x^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - lim_{x \to 2} 8 x + lim_{x \to 2} 12}$

Etapa 1.1.3.4

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + lim_{x \to 2} 12}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $2$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 2} x)}^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

Etapa 1.1.3.6

Avalie os limites substituindo $2$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{3} - {(lim_{x \to 2} x)}^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

Etapa 1.1.3.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{3} - 2^{2} - 8 lim_{x \to 2} x + 12}$

Etapa 1.1.3.6.3

Avalie o limite de $x$ substituindo $2$ por $x$ .

$\frac{0}{2^{3} - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12}$

Etapa 1.1.3.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.7.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$\frac{0}{8 - 2^{2} - 8 \cdot 2 + 12}$

Etapa 1.1.3.7.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{8 - 1 \cdot 4 - 8 \cdot 2 + 12}$

Etapa 1.1.3.7.1.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{8 - 4 - 8 \cdot 2 + 12}$

Etapa 1.1.3.7.1.4

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$\frac{0}{8 - 4 - 16 + 12}$

Etapa 1.1.3.7.2

Subtraia $4$ de $8$ .

$\frac{0}{4 - 16 + 12}$

Etapa 1.1.3.7.3

Subtraia $16$ de $4$ .

$\frac{0}{- 12 + 12}$

Etapa 1.1.3.7.4

Some $- 12$ e $12$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.8

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 2} \frac{x^{3} - x^{2} - 4 x + 4}{x^{3} - x^{2} - 8 x + 12} = lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 4 x + 4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2} - 4 x + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x]$ .

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Etapa 1.3.5.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.5.3

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 + \frac{d}{d x} [4]}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.6

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.7

Some $3 x^{2} - 2 x - 4$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3} - x^{2} - 8 x + 12]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - x^{2} - 8 x + 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.10

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.10.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.10.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.10.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.11

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 1.3.11.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.11.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.11.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 + \frac{d}{d x} [12]}$

Etapa 1.3.12

Como $12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8 + 0}$

Etapa 1.3.13

Some $3 x^{2} - 2 x - 8$ e $0$ .

$lim_{x \to 2} \frac{3 x^{2} - 2 x - 4}{3 x^{2} - 2 x - 8}$

Etapa 2

Como a função se aproxima de $- \infty$ a partir da esquerda e de $\infty$ a partir da direita, o limite não existe.

$Não existe$