Cálculo Exemplos

$x^{3} + 36 x^{2}$

Etapa 1

Escreva $x^{3} + 36 x^{2}$ como uma função.

$f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 2.1.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} + 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [36 x^{2}]$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.1.2.1

Como $36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $36 x^{2}$ em relação a $x$ é $36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} + 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 x^{2} + 36 (2 x)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $36$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + 72 x$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} + 72 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [72 x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [72 x]$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [72 x]$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [72 x]$ .

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Etapa 2.2.3.1

Como $72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $72 x$ em relação a $x$ é $72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x + 72 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x + 72 \cdot 1$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $72$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x + 72$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x + 72$ .

$6 x + 72$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x + 72 = 0$ .

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Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x + 72 = 0$

Etapa 3.2

Subtraia $72$ dos dois lados da equação.

$6 x = - 72$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 x = - 72$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 x = - 72$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 72}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{- 72}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 72}{6}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 3.3.3.1

Divida $- 72$ por $6$ .

$x = - 12$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

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Etapa 4.1

Substitua $- 12$ em $f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$ para encontrar o valor de $y$ .

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Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $- 12$ na expressão.

$f (- 12) = {(- 12)}^{3} + 36 {(- 12)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $3$ .

$f (- 12) = - 1728 + 36 {(- 12)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$f (- 12) = - 1728 + 36 \cdot 144$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $36$ por $144$ .

$f (- 12) = - 1728 + 5184$

Etapa 4.1.2.2

Some $- 1728$ e $5184$ .

$f (- 12) = 3456$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $3456$ .

$3456$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $- 12$ em $f (x) = x^{3} + 36 x^{2}$ é $(- 12, 3456)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(- 12, 3456)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, - 12) \cup (- 12, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 12)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- 12.1$ na expressão.

$f'' (- 12.1) = 6 (- 12.1) + 72$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $- 12.1$ .

$f'' (- 12.1) = - 72.6 + 72$

Etapa 6.2.2

Some $- 72.6$ e $72$ .

$f'' (- 12.1) = - 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 6.3

Em $- 12.1$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, - 12)$ .

Decréscimo em $(- \infty, - 12)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(- 12, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $- 11.9$ na expressão.

$f'' (- 11.9) = 6 (- 11.9) + 72$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Multiplique $6$ por $- 11.9$ .

$f'' (- 11.9) = - 71.4 + 72$

Etapa 7.2.2

Some $- 71.4$ e $72$ .

$f'' (- 11.9) = 0.6$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 7.3

Em $- 11.9$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(- 12, \infty)$ .

Acréscimo em $(- 12, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(- 12, 3456)$ .

$(- 12, 3456)$

Etapa 9