Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - \infty} \sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to - \infty} \frac{(\sqrt{4 x^{2} + 3 x} + 2 x) (\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x)}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to - \infty} \frac{{\sqrt{4 x^{2} + 3 x}}^{2} + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (- 2 x) + \sqrt{4 x^{2} + 3 x} (2 x) - 4 x^{2}}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $4 x^{2}$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x + 0}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Etapa 2.2.2

Some $3 x$ e $0$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{4 x^{2} + 3 x} - 2 x}$

Etapa 3

Avalie o limite.

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $4 x^{2} + 3 x$ .

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Etapa 3.1.1

Fatore $x$ de $4 x^{2}$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + 3 x} - 2 x}$

Etapa 3.1.2

Fatore $x$ de $3 x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x) + x \cdot 3} - 2 x}$

Etapa 3.1.3

Fatore $x$ de $x (4 x) + x \cdot 3$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{3 x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Etapa 3.2

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{x}{\sqrt{x (4 x + 3)} - 2 x}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = - \sqrt{x^{2}}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Etapa 5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{x}{x}}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} + \frac{- 2 x}{x}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x^{2}}} - 2}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{x (4 x + 3)}{x \cdot x}} - 2}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{lim_{x \to - \infty} 1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - 2}$

Etapa 7.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 7.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 x + 3}{x}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{4 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9.1.2

Divida $4$ por $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$3 \frac{1}{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{4 + \frac{3}{x}}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} 4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 9.6

Mova o termo $3$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - lim_{x \to - \infty} 2}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $2$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- \infty$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{\frac{4 + 3 \cdot 0}{1}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 11.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.3.1

Divida $4 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 3 \cdot 0} - 1 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.3.2.1

Multiplique $3$ por $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4 + 0} - 1 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2.2

Some $4$ e $0$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{4} - 1 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2.3

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$3 \frac{1}{- \sqrt{2^{2}} - 1 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2.4

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$3 \frac{1}{- 1 \cdot 2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2.5

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 1 \cdot 2}$

Etapa 11.3.2.6

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$3 \frac{1}{- 2 - 2}$

Etapa 11.3.2.7

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$3 (\frac{1}{- 4})$

Etapa 11.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$3 (- \frac{1}{4})$

Etapa 11.3.4

Multiplique $3 (- \frac{1}{4})$ .

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Etapa 11.3.4.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$- 3 (\frac{1}{4})$

Etapa 11.3.4.2

Combine $- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 3}{4}$

Etapa 11.3.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3}{4}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{3}{4}$

Forma decimal:

$- 0.75$