Cálculo Exemplos

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x + 8}{x^{2} + x - 12}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to - 4} 2 x + 8}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{lim_{x \to - 4} 2 x + lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

Etapa 1.1.2.1.2

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 8}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $8$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{2 lim_{x \to - 4} x + 8}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{2 \cdot - 4 + 8}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$\frac{- 8 + 8}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

Etapa 1.1.2.3.2

Some $- 8$ e $8$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x^{2} + x - 12}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to - 4} x^{2} + lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 12}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} x - lim_{x \to - 4} 12}$

Etapa 1.1.3.3

Avalie o limite de $12$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to - 4} x)}^{2} + lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 12}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie os limites substituindo $- 4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.4.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 4)}^{2} + lim_{x \to - 4} x - 1 \cdot 12}$

Etapa 1.1.3.4.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$\frac{0}{{(- 4)}^{2} - 4 - 1 \cdot 12}$

Etapa 1.1.3.5

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.5.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.5.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{16 - 4 - 1 \cdot 12}$

Etapa 1.1.3.5.1.2

Multiplique $- 1$ por $12$ .

$\frac{0}{16 - 4 - 12}$

Etapa 1.1.3.5.2

Subtraia $4$ de $16$ .

$\frac{0}{12 - 12}$

Etapa 1.1.3.5.3

Subtraia $12$ de $12$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.5.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to - 4} \frac{2 x + 8}{x^{2} + x - 12} = lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 x + 8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 + \frac{d}{d x} [8]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3.4

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3.5

Some $2$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2} + x - 12]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + x - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Etapa 1.3.7

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2}{2 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2}{2 x + 1 + \frac{d}{d x} [- 12]}$

Etapa 1.3.9

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2}{2 x + 1 + 0}$

Etapa 1.3.10

Some $2 x + 1$ e $0$ .

$lim_{x \to - 4} \frac{2}{2 x + 1}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to - 4} \frac{1}{2 x + 1}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$2 \frac{lim_{x \to - 4} 1}{lim_{x \to - 4} 2 x + 1}$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 4} 2 x + 1}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$2 \frac{1}{lim_{x \to - 4} 2 x + lim_{x \to - 4} 1}$

Etapa 2.5

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to - 4} x + lim_{x \to - 4} 1}$

Etapa 2.6

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $- 4$ .

$2 \frac{1}{2 lim_{x \to - 4} x + 1}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $- 4$ por $x$ .

$2 \frac{1}{2 \cdot - 4 + 1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$2 \frac{1}{- 8 + 1}$

Etapa 4.1.2

Some $- 8$ e $1$ .

$2 (\frac{1}{- 7})$

Etapa 4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 (- \frac{1}{7})$

Etapa 4.3

Multiplique $2 (- \frac{1}{7})$ .

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Etapa 4.3.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 (\frac{1}{7})$

Etapa 4.3.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{7}$ .

$\frac{- 2}{7}$

Etapa 4.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2}{7}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{2}{7}$

Forma decimal:

$- 0.\overline{285714}$