Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{\sin (x - 4)}{x - 4}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} \sin (x - 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o seno é contínuo.

$\frac{\sin (lim_{x \to 4} x - 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.1.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.1.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{\sin (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{\sin (4 - 1 \cdot 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{\sin (4 - 4)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{\sin (0)}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.2.3.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 4}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}$

Etapa 1.1.3.1.2

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{4 - 1 \cdot 4}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{0}{4 - 4}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{\sin (x - 4)}{x - 4} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [\sin (x - 4)]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x - 4$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x - 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (u) \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x - 4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4) \frac{d}{d x} [x - 4]}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.6

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.7

Multiplique $\cos (x - 4)$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4)}{\frac{d}{d x} [x - 4]}$

Etapa 1.3.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4)}{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.9

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4)}{1 + \frac{d}{d x} [- 4]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4)}{1 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\cos (x - 4)}{1}$

Etapa 1.4

Divida $\cos (x - 4)$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \cos (x - 4)$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o limite dentro da função trigonométrica, pois o cosseno é contínuo.

$\cos (lim_{x \to 4} x - 4)$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\cos (lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4)$

Etapa 2.3

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\cos (lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4)$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\cos (4 - 1 \cdot 4)$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\cos (4 - 4)$

Etapa 4.2

Subtraia $4$ de $4$ .

$\cos (0)$

Etapa 4.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$1$