Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{2} - 15 x - 4}{x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{2} - 15 x - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 4 x^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.2

Mova o termo $4$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 lim_{x \to 4} x^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.3

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - lim_{x \to 4} 15 x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.4

Mova o termo $15$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.5

Avalie o limite de $4$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{4 {(lim_{x \to 4} x)}^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.6

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.2.6.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 15 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.6.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{4 \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.2.7.1.1

Multiplique $4$ por $4^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.1.2.7.1.1.1

Multiplique $4$ por $4^{2}$ .

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Etapa 1.1.2.7.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$\frac{4^{1} \cdot 4^{2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{4^{1 + 2} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$\frac{4^{3} - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{64 - 15 \cdot 4 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7.1.3

Multiplique $- 15$ por $4$ .

$\frac{64 - 60 - 1 \cdot 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7.1.4

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$\frac{64 - 60 - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7.2

Subtraia $60$ de $64$ .

$\frac{4 - 4}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.2.7.3

Subtraia $4$ de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} + 9 x - 52}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 4} x^{2} + lim_{x \to 4} 9 x - lim_{x \to 4} 52}$

Etapa 1.1.3.2

Mova o expoente $2$ de $x^{2}$ para fora do limite usando a regra da multiplicação de potências.

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + lim_{x \to 4} 9 x - lim_{x \to 4} 52}$

Etapa 1.1.3.3

Mova o termo $9$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 52}$

Etapa 1.1.3.4

Avalie o limite de $52$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{0}{{(lim_{x \to 4} x)}^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 52}$

Etapa 1.1.3.5

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 1.1.3.5.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{4^{2} + 9 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 52}$

Etapa 1.1.3.5.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{0}{4^{2} + 9 \cdot 4 - 1 \cdot 52}$

Etapa 1.1.3.6

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.6.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.6.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{0}{16 + 9 \cdot 4 - 1 \cdot 52}$

Etapa 1.1.3.6.1.2

Multiplique $9$ por $4$ .

$\frac{0}{16 + 36 - 1 \cdot 52}$

Etapa 1.1.3.6.1.3

Multiplique $- 1$ por $52$ .

$\frac{0}{16 + 36 - 52}$

Etapa 1.1.3.6.2

Some $16$ e $36$ .

$\frac{0}{52 - 52}$

Etapa 1.1.3.6.3

Subtraia $52$ de $52$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.6.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.7

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 4} \frac{4 x^{2} - 15 x - 4}{x^{2} + 9 x - 52} = lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 15 x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2} - 15 x - 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{2} - 15 x - 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{4 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.3.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x + \frac{d}{d x} [- 15 x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x]$ .

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Etapa 1.3.4.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.4.3

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 + \frac{d}{d x} [- 4]}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.5

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15 + 0}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.6

Some $8 x - 15$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{\frac{d}{d x} [x^{2} + 9 x - 52]}$

Etapa 1.3.7

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 9 x - 52$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Etapa 1.3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + \frac{d}{d x} [9 x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Etapa 1.3.9

Avalie $\frac{d}{d x} [9 x]$ .

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Etapa 1.3.9.1

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9 x$ em relação a $x$ é $9 \frac{d}{d x} [x]$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Etapa 1.3.9.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Etapa 1.3.9.3

Multiplique $9$ por $1$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 + \frac{d}{d x} [- 52]}$

Etapa 1.3.10

Como $- 52$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 52$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9 + 0}$

Etapa 1.3.11

Some $2 x + 9$ e $0$ .

$lim_{x \to 4} \frac{8 x - 15}{2 x + 9}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 8 x - 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Etapa 2.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{lim_{x \to 4} 8 x - lim_{x \to 4} 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Etapa 2.3

Mova o termo $8$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - lim_{x \to 4} 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Etapa 2.4

Avalie o limite de $15$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 4} 2 x + 9}$

Etapa 2.5

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{lim_{x \to 4} 2 x + lim_{x \to 4} 9}$

Etapa 2.6

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + lim_{x \to 4} 9}$

Etapa 2.7

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $4$ .

$\frac{8 lim_{x \to 4} x - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + 9}$

Etapa 3

Avalie os limites substituindo $4$ por todas as ocorrências de $x$ .

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Etapa 3.1

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{8 \cdot 4 - 1 \cdot 15}{2 lim_{x \to 4} x + 9}$

Etapa 3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $4$ por $x$ .

$\frac{8 \cdot 4 - 1 \cdot 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.1

Multiplique $8$ por $4$ .

$\frac{32 - 1 \cdot 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Etapa 4.1.2

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$\frac{32 - 15}{2 \cdot 4 + 9}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $15$ de $32$ .

$\frac{17}{2 \cdot 4 + 9}$

Etapa 4.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 4.2.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{17}{8 + 9}$

Etapa 4.2.2

Some $8$ e $9$ .

$\frac{17}{17}$

Etapa 4.3

Divida $17$ por $17$ .

$1$