Cálculo Exemplos

$f (x) = 3 x^{2} - 18 x + 15$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 18 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$6 x - 18 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 18 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $6 x - 18$ e $0$ .

$6 x - 18$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 18$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 18]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 18)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 18)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (- 18)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $6$ e $0$ .

$f'' (x) = 6$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x - 18 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 18 x + 15$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 x + \frac{d}{d x} [- 18 x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 18$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 18 x$ em relação a $x$ é $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x - 18 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x - 18 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 18$ por $1$ .

$6 x - 18 + \frac{d}{d x} [15]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $15$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x - 18 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $6 x - 18$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x - 18$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 18$ .

$6 x - 18$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 18 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x - 18 = 0$

Etapa 5.2

Some $18$ aos dois lados da equação.

$6 x = 18$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $6 x = 18$ por $6$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $6 x = 18$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{18}{6}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{18}{6}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $18$ por $6$ .

$x = 3$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 3$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 3$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$6$

Etapa 9

$x = 3$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 3$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = 3$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.2.1.1.1

Multiplique $3$ por ${(3)}^{2}$ .

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Etapa 10.2.1.1.1.1

Eleve $3$ à potência de $1$ .

$f (3) = 3 {(3)}^{2} - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 10.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (3) = 3^{1 + 2} - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 10.2.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$f (3) = 3^{3} - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 10.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (3) = 27 - 18 \cdot 3 + 15$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$f (3) = 27 - 54 + 15$

Etapa 10.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.2.2.1

Subtraia $54$ de $27$ .

$f (3) = - 27 + 15$

Etapa 10.2.2.2

Some $- 27$ e $15$ .

$f (3) = - 12$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$y = - 12$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 3 x^{2} - 18 x + 15$ .

$(3, - 12)$ é um mínimo local

Etapa 12