Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$2 + 3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$2 + 3 \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.9

Combine $3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.3.12

Fatore $3$ de $6$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}})$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ como ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{3}})}^{- 1})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{3}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{3}}))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{1}{3} \cdot - 2} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}}))$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}}))$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}}))$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{2}{3}} \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3}} x^{- \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{2}{3}}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{2}{3} - \frac{2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 2 - 2}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.3

Subtraia $2$ de $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{\frac{- 4}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}})$

Etapa 2.2.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.16

Combine $- 2$ e $\frac{1}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 2.3

Subtraia $\frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (x) = 2 + \frac{d}{d x} (3 x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{2}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{\frac{2}{3}}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{3}}]$ .

$f' (x) = 2 + 3 \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1})$

Etapa 4.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}})$

Etapa 4.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.3.8

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + 3 (\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 4.1.3.9

Combine $3$ e $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 (2 x^{- \frac{1}{3}})}{3}$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{6}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.3.12

Fatore $3$ de $6$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.13.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{1}{3}}$ .

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 (x^{\frac{1}{3}})}$

Etapa 4.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 2 + \frac{3 \cdot 2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{3}}, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} = - 2$ por $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{\frac{1}{3}}} x^{\frac{1}{3}} = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = - 2 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{\frac{1}{3}} = 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{\frac{1}{3}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{3}} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Divida $2$ por $- 2$ .

$x^{\frac{1}{3}} = - 1$

Etapa 5.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $3$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(- 1)}^{3}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$x = - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$2 + \frac{2}{\sqrt[3]{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt[3]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{3 {(- 1)}^{4}}$

Etapa 9.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$- \frac{2}{3}$

Etapa 10

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 2 (- 1) + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{2}{3}}$

Etapa 11.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{3 (\frac{2}{3})}$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 1) = - 2 + 3 {(- 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 3 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $3$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 3$

Etapa 11.2.2

Some $- 2$ e $3$ .

$f (- 1) = 1$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{2}{3 {(0)}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$- \frac{2}{3 {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{3 \cdot 0^{4}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{2}{3 \cdot 0}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$- \frac{2}{0}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{2}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.3.2

A resposta final é $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $2 + \frac{2}{x^{\frac{1}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{1}{3}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.4.2.1.1

Mova ${(2)}^{\frac{1}{3}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 14.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{1}{3}}$ .

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Etapa 14.4.2.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{1}{3}}$

Etapa 14.4.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{1}{3}}$

Etapa 14.4.2.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3}{3} - \frac{1}{3}}$

Etapa 14.4.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{3 - 1}{3}}$

Etapa 14.4.2.1.2.4

Subtraia $1$ de $3$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 14.4.2.2

A resposta final é $2 + 2^{\frac{2}{3}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{3}}$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um máximo local.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x + 3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 15