Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{\frac{2}{11}}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$ .

$2 + 11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 1 \cdot 11}{11}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 11}{11}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $11$ de $2$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{- 9}{11}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{- \frac{9}{11}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{2}{11}$ e $x^{- \frac{9}{11}}$ .

$2 + 11 \frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Etapa 1.3.9

Combine $11$ e $\frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$ .

$2 + \frac{11 (2 x^{- \frac{9}{11}})}{11}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $2$ por $11$ .

$2 + \frac{22 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Etapa 1.3.11

Mova $x^{- \frac{9}{11}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{22}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 1.3.12

Fatore $11$ de $22$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.13.1

Fatore $11$ de $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 (x^{\frac{9}{11}})}$

Etapa 1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2) + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}})$

Etapa 2.1.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}})$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{9}{11}}}$ como ${(x^{\frac{9}{11}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{9}{11}})}^{- 1})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{9}{11}}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{9}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{9}{11}}))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{11}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{9}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{9}{11}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{9}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- {(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{9}{11}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{9}{11} \cdot - 2} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $\frac{9}{11} \cdot - 2$ .

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Etapa 2.2.5.2.1

Combine $\frac{9}{11}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{9 \cdot - 2}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Etapa 2.2.5.2.2

Multiplique $9$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{\frac{- 18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Etapa 2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1}))$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}}))$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{11}{11}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}}))$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9 - 1 \cdot 11}{11}}))$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

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Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{9 - 11}{11}}))$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $11$ de $9$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{\frac{- 2}{11}}))$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} (\frac{9}{11} x^{- \frac{2}{11}}))$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{9}{11}$ e $x^{- \frac{2}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- x^{- \frac{18}{11}} \frac{9 x^{- \frac{2}{11}}}{11})$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{9 x^{- \frac{2}{11}}}{11}$ e $x^{- \frac{18}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{2}{11}} x^{- \frac{18}{11}}}{11})$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{2}{11}}$ por $x^{- \frac{18}{11}}$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.13.1

Mova $x^{- \frac{18}{11}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 (x^{- \frac{18}{11}} x^{- \frac{2}{11}})}{11})$

Etapa 2.2.13.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{18}{11} - \frac{2}{11}}}{11})$

Etapa 2.2.13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{\frac{- 18 - 2}{11}}}{11})$

Etapa 2.2.13.4

Subtraia $2$ de $- 18$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{\frac{- 20}{11}}}{11})$

Etapa 2.2.13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9 x^{- \frac{20}{11}}}{11})$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{20}{11}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 2 (- \frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}})$

Etapa 2.2.15

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 2.2.16

Combine $- 2$ e $\frac{9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 2 \cdot 9}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 2.2.17

Multiplique $- 2$ por $9$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 2.2.18

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 2.3

Subtraia $\frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{18}{11 x^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [11 x^{\frac{2}{11}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $11 x^{\frac{2}{11}}$ em relação a $x$ é $11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$ .

$2 + 11 \frac{d}{d x} [x^{\frac{2}{11}}]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1})$

Etapa 4.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} - 1 \cdot \frac{11}{11}})$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{11}{11}$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2}{11} + \frac{- 1 \cdot 11}{11}})$

Etapa 4.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 1 \cdot 11}{11}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $11$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{2 - 11}{11}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Subtraia $11$ de $2$ .

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{\frac{- 9}{11}})$

Etapa 4.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 + 11 (\frac{2}{11} x^{- \frac{9}{11}})$

Etapa 4.1.3.8

Combine $\frac{2}{11}$ e $x^{- \frac{9}{11}}$ .

$2 + 11 \frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Etapa 4.1.3.9

Combine $11$ e $\frac{2 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$ .

$2 + \frac{11 (2 x^{- \frac{9}{11}})}{11}$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $2$ por $11$ .

$2 + \frac{22 x^{- \frac{9}{11}}}{11}$

Etapa 4.1.3.11

Mova $x^{- \frac{9}{11}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + \frac{22}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 4.1.3.12

Fatore $11$ de $22$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 4.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.13.1

Fatore $11$ de $11 x^{\frac{9}{11}}$ .

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 (x^{\frac{9}{11}})}$

Etapa 4.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$2 + \frac{11 \cdot 2}{11 x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 4.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{9}{11}}, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{9}{11}}$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$ por $x^{\frac{9}{11}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} = - 2$ por $x^{\frac{9}{11}}$ .

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{9}{11}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{x^{\frac{9}{11}}} x^{\frac{9}{11}} = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$2 = - 2 x^{\frac{9}{11}}$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ .

$- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{\frac{9}{11}} = 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{\frac{9}{11}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{\frac{9}{11}}}{- 2} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{9}{11}}$ por $1$ .

$x^{\frac{9}{11}} = \frac{2}{- 2}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Divida $2$ por $- 2$ .

$x^{\frac{9}{11}} = - 1$

Etapa 5.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{11}{9}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{9}{11}})}^{\frac{11}{9}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{9}{11} \cdot \frac{11}{9}} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $11$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{11} \cdot 11} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(- 1)}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Simplifique ${(- 1)}^{\frac{11}{9}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{9}$ .

$x = {({(- 1)}^{9})}^{\frac{11}{9}}$

Etapa 5.5.4.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = {(- 1)}^{9 (\frac{11}{9})}$

Etapa 5.5.4.2.1.2

Cancele o fator comum de $9$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x = {(- 1)}^{9 (\frac{11}{9})}$

Etapa 5.5.4.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x = {(- 1)}^{11}$

Etapa 5.5.4.2.1.3

Eleve $- 1$ à potência de $11$ .

$x = - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$2 + \frac{2}{\sqrt[11]{x^{9}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt[11]{x^{9}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[11]{x^{9}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $11$ ª potência.

${\sqrt[11]{x^{9}}}^{11} = 0^{11}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[11]{x^{9}}$ como $x^{\frac{9}{11}}$ .

${(x^{\frac{9}{11}})}^{11} = 0^{11}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{9}{11}})}^{11}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{9}{11} \cdot 11} = 0^{11}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{9} = 0^{11}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{9} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.3.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[9]{0}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique $\sqrt[9]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{9}$ .

$x = \sqrt[9]{0^{9}}$

Etapa 6.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{11}$ .

$- \frac{18}{11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{20}{11})}}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{11 (\frac{20}{11})}}$

Etapa 9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{18}{11 {(- 1)}^{20}}$

Etapa 9.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $20$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $11$ por $1$ .

$- \frac{18}{11}$

Etapa 10

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 2 (- 1) + 11 {(- 1)}^{\frac{2}{11}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{\frac{2}{11}}$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{11}$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {({(- 1)}^{11})}^{\frac{2}{11}}$

Etapa 11.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{11 (\frac{2}{11})}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{11 (\frac{2}{11})}$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 1) = - 2 + 11 {(- 1)}^{2}$

Etapa 11.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- 1) = - 2 + 11 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $11$ por $1$ .

$f (- 1) = - 2 + 11$

Etapa 11.2.2

Some $- 2$ e $11$ .

$f (- 1) = 9$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $9$ .

$y = 9$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{18}{11 {(0)}^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.1.1

Reescreva $0$ como $0^{11}$ .

$- \frac{18}{11 {(0^{11})}^{\frac{20}{11}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{11 (\frac{20}{11})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $11$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{11 (\frac{20}{11})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{18}{11 \cdot 0^{20}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{18}{11 \cdot 0}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $11$ por $0$ .

$- \frac{18}{0}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{18}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 4)}^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = 2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 14.3.2

A resposta final é $2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$ .

$2 + \frac{2}{{(- 0.5)}^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $2 + \frac{2}{x^{\frac{9}{11}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 2 + \frac{2}{{(2)}^{\frac{9}{11}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.4.2.1.1

Mova ${(2)}^{\frac{9}{11}}$ para o numerador usando a regra do expoente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{9}{11}}$

Etapa 14.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{9}{11}}$ somando os expoentes.

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Etapa 14.4.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $2^{- \frac{9}{11}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.4.2.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f' (2) = 2 + 2 \cdot 2^{- \frac{9}{11}}$

Etapa 14.4.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (2) = 2 + 2^{1 - \frac{9}{11}}$

Etapa 14.4.2.1.2.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{11}{11} - \frac{9}{11}}$

Etapa 14.4.2.1.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{11 - 9}{11}}$

Etapa 14.4.2.1.2.4

Subtraia $9$ de $11$ .

$f' (2) = 2 + 2^{\frac{2}{11}}$

Etapa 14.4.2.2

A resposta final é $2 + 2^{\frac{2}{11}}$ .

$2 + 2^{\frac{2}{11}}$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um máximo local.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x + 11 x^{\frac{2}{11}}$ .

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 15