Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 \cos (x) + \sin (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (u) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]$

Etapa 1.3.2

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) (2 \cdot 1)$

Etapa 1.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (x) + \cos (2 x) \cdot 2$

Etapa 1.3.5

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \sin (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + \frac{d}{d x} (2 \cos (2 x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (2 x))$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (\frac{d}{d u} (\cos (u)) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (u) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) + 2 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$f'' (x) = - 2 \cos (x) - 4 \sin (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x) = 0$

Etapa 4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1

Use a fórmula do arco duplo para transformar $\cos (2 x)$ em $1 - 2 \sin^{2} (x)$ .

$- 2 \sin (x) + 2 (1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- 2 \sin (x) + 2 \cdot 1 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 2 \sin (x) + 2 + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 4.4

Multiplique $- 2$ por $2$ .

$- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5

Fatore $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 5.1

Fatore $2$ de $- 2 \sin (x) + 2 - 4 \sin^{2} (x)$ .

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Etapa 5.1.1

Fatore $2$ de $- 2 \sin (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.1.2

Fatore $2$ de $2$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Etapa 5.1.3

Fatore $2$ de $- 4 \sin^{2} (x)$ .

$2 (- \sin (x)) + 2 (1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.1.4

Fatore $2$ de $2 (- \sin (x)) + 2 (1)$ .

$2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.1.5

Fatore $2$ de $2 (- \sin (x) + 1) + 2 (- 2 \sin^{2} (x))$ .

$2 (- \sin (x) + 1 - 2 \sin^{2} (x)) = 0$

Etapa 5.2

Fatore.

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Etapa 5.2.1

Fatore por agrupamento.

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Etapa 5.2.1.1

Reordene os termos.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 5.2.1.2

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = - 2 \cdot 1 = - 2$ e cuja soma é $b = - 1$ .

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Etapa 5.2.1.2.1

Fatore $- 1$ de $- \sin (x)$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) - \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 5.2.1.2.2

Reescreva $- 1$ como $1$ mais $- 2$

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + (1 - 2) \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 5.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + 1 \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 5.2.1.2.4

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

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Etapa 5.2.1.3.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$2 (- 2 \sin^{2} (x) + \sin (x) - 2 \sin (x) + 1) = 0$

Etapa 5.2.1.3.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$2 (\sin (x) (- 2 \sin (x) + 1) + 1 (- 2 \sin (x) + 1)) = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $- 2 \sin (x) + 1$ .

$2 ((- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1)) = 0$

Etapa 5.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$

Etapa 6

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 7

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $- 2 \sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 \sin (x) + 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- 2 \sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (x) = - 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (x) = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 7.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 7.2.2.2.1.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Etapa 7.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Etapa 7.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (\frac{1}{2})$ é $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.5

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.6

Simplifique $π - \frac{π}{6}$ .

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Etapa 7.2.6.1

Para escrever $π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.6.2

Combine frações.

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Etapa 7.2.6.2.1

Combine $π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Etapa 7.2.6.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Etapa 7.2.6.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.2.6.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Etapa 7.2.6.3.2

Subtraia $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Etapa 7.2.7

A solução para a equação $x = \frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}$

Etapa 8

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 8.1

Defina $\sin (x) + 1$ como igual a $0$ .

$\sin (x) + 1 = 0$

Etapa 8.2

Resolva $\sin (x) + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$\sin (x) = - 1$

Etapa 8.2.2

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 8.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 8.2.3.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 8.2.4

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 8.2.5

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 8.2.5.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 8.2.5.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 8.2.6

A solução para a equação $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 9

A solução final são todos os valores que tornam $2 (- 2 \sin (x) + 1) (\sin (x) + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (\frac{π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 11

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 11.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 11.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 11.1.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{\sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 11.1.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 11.1.3

Reescreva $- 1 \sqrt{3}$ como $- \sqrt{3}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 11.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 (3)})$

Etapa 11.1.4.2

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{π}{2 \cdot 3})$

Etapa 11.1.4.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{3} - 4 \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 11.1.5

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- \sqrt{3} - 4 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 11.1.6.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$- \sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.1.6.2

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 11.1.6.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{3} - 2 \sqrt{3}$

Etapa 11.2

Subtraia $2 \sqrt{3}$ de $- \sqrt{3}$ .

$- 3 \sqrt{3}$

Etapa 12

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 13

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{6}$ .

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Etapa 13.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{π}{6}) = 2 \cos (\frac{π}{6}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 13.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 13.2.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = 2 (\frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 13.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{6}))$

Etapa 13.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.3.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 (3)}))$

Etapa 13.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{π}{2 \cdot 3}))$

Etapa 13.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 13.2.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.2

Para escrever $\sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.3.1

Combine $\sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{π}{6}) = \frac{\sqrt{3} \cdot 2 + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.4.1

Mova $2$ para a esquerda de $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{2 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.4.2

Some $2 \sqrt{3}$ e $\sqrt{3}$ .

$f (\frac{π}{6}) = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 13.2.5

A resposta final é $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{5 π}{6}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (\frac{5 π}{6}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 2 (- \cos (\frac{π}{6})) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$- 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$- 2 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.3.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.3.3

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{- \sqrt{3}}{2} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.3.4

Reescreva a expressão.

$- 1 (- \sqrt{3}) - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.4

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$1 \sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.5

Multiplique $\sqrt{3}$ por $1$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 15.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 (3)})$

Etapa 15.1.6.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{3} - 4 \sin (2 \frac{5 π}{2 \cdot 3})$

Etapa 15.1.6.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{3} - 4 \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 15.1.7

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$\sqrt{3} - 4 (- \sin (\frac{π}{3}))$

Etapa 15.1.8

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\sqrt{3} - 4 (- \frac{\sqrt{3}}{2})$

Etapa 15.1.9

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1.9.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$\sqrt{3} - 4 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 15.1.9.2

Fatore $2$ de $- 4$ .

$\sqrt{3} + 2 (- 2) \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 15.1.9.3

Cancele o fator comum.

$\sqrt{3} + 2 \cdot - 2 \frac{- \sqrt{3}}{2}$

Etapa 15.1.9.4

Reescreva a expressão.

$\sqrt{3} - 2 (- \sqrt{3})$

Etapa 15.1.10

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\sqrt{3} + 2 \sqrt{3}$

Etapa 15.2

Some $\sqrt{3}$ e $2 \sqrt{3}$ .

$3 \sqrt{3}$

Etapa 16

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 17

Encontre o valor y quando $x = \frac{5 π}{6}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{5 π}{6}$ na expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 \cos (\frac{5 π}{6}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 17.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \cos (\frac{π}{6})) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 17.2.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{6})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (- \frac{\sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 17.2.1.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.3.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ para o numerador.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 17.2.1.3.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = 2 (\frac{- \sqrt{3}}{2}) + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 17.2.1.3.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{6}))$

Etapa 17.2.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.4.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 (3)}))$

Etapa 17.2.1.4.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (2 (\frac{5 π}{2 \cdot 3}))$

Etapa 17.2.1.4.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} + \sin (\frac{5 π}{3})$

Etapa 17.2.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \sin (\frac{π}{3})$

Etapa 17.2.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{3})$ é $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.2.2

Para escrever $- \sqrt{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = - \sqrt{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.2.3

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Combine $- \sqrt{3}$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.2.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- \sqrt{3} \cdot 2 - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.2.4

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.4.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 2 \sqrt{3} - \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.2.4.2

Subtraia $\sqrt{3}$ de $- 2 \sqrt{3}$ .

$f (\frac{5 π}{6}) = \frac{- 3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.2.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{5 π}{6}) = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 17.2.6

A resposta final é $- \frac{3 \sqrt{3}}{2}$ .

$y = - \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

Etapa 18

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 2 \cos (- \frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 19

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.1

Some as rotações completas de $2 π$ até que o ângulo fique maior do que ou igual a $0$ e menor do que $2 π$ .

$- 2 \cos (\frac{3 π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 19.1.2

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 2 \cos (\frac{π}{2}) - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 19.1.3

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 2 \cdot 0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 19.1.4

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$0 - 4 \sin (2 (- \frac{π}{2}))$

Etapa 19.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{π}{2}$ para o numerador.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Etapa 19.1.5.2

Cancele o fator comum.

$0 - 4 \sin (2 \frac{- π}{2})$

Etapa 19.1.5.3

Reescreva a expressão.

$0 - 4 \sin (- π)$

Etapa 19.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$0 - 4 \sin (0)$

Etapa 19.1.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$0 - 4 \cdot 0$

Etapa 19.1.8

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 19.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 20

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{6}) \cup (\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6}) \cup (\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Etapa 20.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ na primeira derivada $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - 2 \sin (- 4) + 2 \cos (2 (- 4))$

Etapa 20.2.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.2.2.1.1

Avalie $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 2 \cdot 0.75680249 + 2 \cos (2 (- 4))$

Etapa 20.2.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0.75680249$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (2 (- 4))$

Etapa 20.2.2.1.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cos (- 8)$

Etapa 20.2.2.1.4

Avalie $\cos (- 8)$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Etapa 20.2.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 0.14550003$ .

$f' (- 4) = - 1.51360499 - 0.29100006$

Etapa 20.2.2.2

Subtraia $0.29100006$ de $- 1.51360499$ .

$f' (- 4) = - 1.80460505$

Etapa 20.2.2.3

A resposta final é $- 1.80460505$ .

$- 1.80460505$

Etapa 20.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{6})$ na primeira derivada $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - 2 \sin (0) + 2 \cos (2 (0))$

Etapa 20.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.3.2.1.1

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f' (0) = - 2 \cdot 0 + 2 \cos (2 (0))$

Etapa 20.3.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (2 (0))$

Etapa 20.3.2.1.3

Multiplique $2$ por $0$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cos (0)$

Etapa 20.3.2.1.4

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 0 + 2 \cdot 1$

Etapa 20.3.2.1.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f' (0) = 0 + 2$

Etapa 20.3.2.2

Some $0$ e $2$ .

$f' (0) = 2$

Etapa 20.3.2.3

A resposta final é $2$ .

$2$

Etapa 20.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(\frac{π}{6}, \frac{5 π}{6})$ na primeira derivada $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = - 2 \sin (2) + 2 \cos (2 (2))$

Etapa 20.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.4.2.1.1

Avalie $\sin (2)$ .

$f' (2) = - 2 \cdot 0.90929742 + 2 \cos (2 (2))$

Etapa 20.4.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0.90929742$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (2 (2))$

Etapa 20.4.2.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cos (4)$

Etapa 20.4.2.1.4

Avalie $\cos (4)$ .

$f' (2) = - 1.81859485 + 2 \cdot - 0.65364362$

Etapa 20.4.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 0.65364362$ .

$f' (2) = - 1.81859485 - 1.30728724$

Etapa 20.4.2.2

Subtraia $1.30728724$ de $- 1.81859485$ .

$f' (2) = - 3.12588209$

Etapa 20.4.2.3

A resposta final é $- 3.12588209$ .

$- 3.12588209$

Etapa 20.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(\frac{5 π}{6}, \frac{3 π}{2})$ na primeira derivada $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = - 2 \sin (4) + 2 \cos (2 (4))$

Etapa 20.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.5.2.1.1

Avalie $\sin (4)$ .

$f' (4) = - 2 \cdot - 0.75680249 + 2 \cos (2 (4))$

Etapa 20.5.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $- 0.75680249$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (2 (4))$

Etapa 20.5.2.1.3

Multiplique $2$ por $4$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cos (8)$

Etapa 20.5.2.1.4

Avalie $\cos (8)$ .

$f' (4) = 1.51360499 + 2 \cdot - 0.14550003$

Etapa 20.5.2.1.5

Multiplique $2$ por $- 0.14550003$ .

$f' (4) = 1.51360499 - 0.29100006$

Etapa 20.5.2.2

Subtraia $0.29100006$ de $1.51360499$ .

$f' (4) = 1.22260492$

Etapa 20.5.2.3

A resposta final é $1.22260492$ .

$1.22260492$

Etapa 20.6

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ na primeira derivada $- 2 \sin (x) + 2 \cos (2 x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.6.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = - 2 \sin (7) + 2 \cos (2 (7))$

Etapa 20.6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.6.2.1.1

Avalie $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 2 \cdot 0.65698659 + 2 \cos (2 (7))$

Etapa 20.6.2.1.2

Multiplique $- 2$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (2 (7))$

Etapa 20.6.2.1.3

Multiplique $2$ por $7$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cos (14)$

Etapa 20.6.2.1.4

Avalie $\cos (14)$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 2 \cdot 0.13673721$

Etapa 20.6.2.1.5

Multiplique $2$ por $0.13673721$ .

$f' (7) = - 1.31397319 + 0.27347443$

Etapa 20.6.2.2

Some $- 1.31397319$ e $0.27347443$ .

$f' (7) = - 1.04049876$

Etapa 20.6.2.3

A resposta final é $- 1.04049876$ .

$- 1.04049876$

Etapa 20.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = - \frac{π}{2}$ , então $x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local.

$x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 20.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{π}{6}$ , então $x = \frac{π}{6}$ é um máximo local.

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

Etapa 20.9

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{5 π}{6}$ , então $x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local.

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

Etapa 20.10

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{3 π}{2}$ , então $x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 20.11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 \cos (x) + \sin (2 x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

$x = - \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = \frac{π}{6}$ é um máximo local

$x = \frac{5 π}{6}$ é um mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 21