Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x - \frac{256}{x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - \frac{256}{x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{256}{x}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{256}{x}$ em relação a $x$ é $- 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$2 - 256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.3.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$2 - 256 \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$2 - 256 (- x^{- 2})$

Etapa 1.3.4

Multiplique $- 1$ por $- 256$ .

$2 + 256 x^{- 2}$

Etapa 1.4

Simplifique.

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Etapa 1.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 + 256 \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.4.2

Combine $256$ e $\frac{1}{x^{2}}$ .

$2 + \frac{256}{x^{2}}$

Etapa 1.4.3

Reordene os termos.

$\frac{256}{x^{2}} + 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{256}{x^{2}} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{256}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{256}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $256$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{256}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $256 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 256 \frac{d}{d x} ({(x^{2})}^{- 1}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$f'' (x) = 256 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 256 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 256 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 256 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 256 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 (x \cdot x^{- 4})) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$f'' (x) = 256 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.2.10

Multiplique $- 2$ por $256$ .

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 512 x^{- 3} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 512 \frac{1}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Combine $- 512$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$f'' (x) = \frac{- 512}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}} + 0$

Etapa 2.4.2.3

Some $- \frac{512}{x^{3}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{512}{x^{3}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{256}{x^{2}} + 2 = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6