Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.4

Como $4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 1.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.5.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 1.6

Como $10 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + 0$

Etapa 1.7

Combine os termos.

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Etapa 1.7.1

Some $4 x + 3 y$ e $0$ .

$4 x + 3 y - 2 + 0$

Etapa 1.7.2

Some $4 x + 3 y - 2$ e $0$ .

$4 x + 3 y - 2$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + 3 y - 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (3 y) + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + \frac{d}{d x} (- 2)$

Etapa 2.3.2

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0 + 0$

Etapa 2.4

Combine os termos.

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Etapa 2.4.1

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x + 3 y - 2 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [3 x y] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x y]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $3 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x y$ em relação a $x$ é $3 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 y \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $3$ por $1$ .

$4 x + 3 y + \frac{d}{d x} [4 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.4

Como $4 y^{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 y^{2}$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 y + 0 + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.5

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 4.1.5.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.5.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + \frac{d}{d x} [10 y]$

Etapa 4.1.6

Como $10 y$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $10 y$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x + 3 y + 0 - 2 + 0$

Etapa 4.1.7

Combine os termos.

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Etapa 4.1.7.1

Some $4 x + 3 y$ e $0$ .

$4 x + 3 y - 2 + 0$

Etapa 4.1.7.2

Some $4 x + 3 y - 2$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x + 3 y - 2$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x + 3 y - 2$ .

$4 x + 3 y - 2$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x + 3 y - 2 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x + 3 y - 2 = 0$

Etapa 5.2

Mova todos os termos que não contêm $x$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.2.1

Subtraia $3 y$ dos dois lados da equação.

$4 x - 2 = - 3 y$

Etapa 5.2.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$4 x = - 3 y + 2$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 x = - 3 y + 2$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x = - 3 y + 2$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{- 3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2}{4}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2 (1)}{4}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4$

Etapa 9

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 {(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})}^{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Reescreva ${(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})}^{2}$ como $(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 ((- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.2

Expanda $(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 10.2.1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2})) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (- \frac{3 y}{4} \cdot (- \frac{3 y}{4}) - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 10.2.1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.3.1.1

Multiplique $- \frac{3 y}{4} (- \frac{3 y}{4})$ .

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Etapa 10.2.1.3.1.1.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (1 (\frac{3 y}{4}) \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.1.2

Multiplique $\frac{3 y}{4}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{3 y}{4} \cdot \frac{3 y}{4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.1.3

Multiplique $\frac{3 y}{4}$ por $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{3 y (3 y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.1.4

Multiplique $3$ por $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y \cdot y}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.1.5

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 (y \cdot y)}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.1.6

Eleve $y$ à potência de $1$ .

Etapa 10.2.1.3.1.1.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{1 + 1}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.1.8

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{4 \cdot 4} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.1.9

Multiplique $4$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.2

Multiplique $- \frac{3 y}{4} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Etapa 10.2.1.3.1.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.2.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{2} \cdot (- \frac{3 y}{4}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.3

Multiplique $\frac{1}{2} (- \frac{3 y}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.3.1.3.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{2 \cdot 4} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.3.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.4

Multiplique $\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.3.1.4.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{2 \cdot 2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.1.4.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{8} - \frac{3 y}{8} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.3.2

Subtraia $\frac{3 y}{8}$ de $- \frac{3 y}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 2 \frac{3 y}{8} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.4.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.4.1.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 (- 1) (\frac{3 y}{8}) + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.4.1.2

Fatore $2$ de $8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} + 2 \cdot (- 1 \frac{3 y}{2 \cdot 4}) + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.4.1.3

Cancele o fator comum.

Etapa 10.2.1.4.1.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - 1 \frac{3 y}{4} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.4.2

Reescreva $- 1 \frac{3 y}{4}$ como $- \frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16} - \frac{3 y}{4} + \frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.5

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{16}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.1.1

Fatore $2$ de $16$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 (8)}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.1.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = 2 (\frac{9 y^{2}}{2 \cdot 8}) + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.1.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (- \frac{3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.2.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 y}{4}$ para o numerador.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 3 y}{4}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.2.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 3 y}{2 (2)}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.2.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + 2 (\frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.2.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + 2 (\frac{1}{4}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.6.3.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + 2 (\frac{1}{2 (2)}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.3.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + 2 (\frac{1}{2 \cdot 2}) + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.6.3.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{- 3 y}{2} + \frac{1}{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + 3 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (3 (- \frac{3 y}{4}) + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.9

Multiplique $3 (- \frac{3 y}{4})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (- 3 \frac{3 y}{4} + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.9.2

Combine $- 3$ e $\frac{3 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (\frac{- 3 (3 y)}{4} + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.9.3

Multiplique $3$ por $- 3$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (\frac{- 9 y}{4} + 3 (\frac{1}{2})) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.10

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (\frac{- 9 y}{4} + \frac{3}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + (- \frac{9 y}{4} + \frac{3}{2}) \cdot y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.12

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y}{4} \cdot y + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.13

Multiplique $- \frac{9 y}{4} y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.13.1

Combine $y$ e $\frac{9 y}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{y (9 y)}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.13.2

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.13.3

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 (y \cdot y)}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.13.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{1 + 1}}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.13.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3}{2} y + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.14

Combine $\frac{3}{2}$ e $y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.15

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 2 (- \frac{3 y}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.16

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.16.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{3 y}{4}$ para o numerador.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 2 \frac{- 3 y}{4} - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.16.2

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 2 (- 1) (\frac{- 3 y}{4}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.16.3

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.16.4

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 2 \cdot (- 1 \frac{- 3 y}{2 \cdot 2}) - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.16.5

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} - 2 (\frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.17

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 10.2.1.17.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} + 2 (- 1) (\frac{1}{2}) + 10 y$

Etapa 10.2.1.17.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} + 2 \cdot (- 1 (\frac{1}{2})) + 10 y$

Etapa 10.2.1.17.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 \frac{- 3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.1.18

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.18.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} - 1 (- \frac{3 y}{2}) - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.1.18.2

Multiplique $- 1 (- \frac{3 y}{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.1.18.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + 1 (\frac{3 y}{2}) - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.1.18.2.2

Multiplique $\frac{3 y}{2}$ por $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.2

Combine os termos opostos em $\frac{9 y^{2}}{8} - \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + \frac{3 y}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$ .

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Etapa 10.2.2.1

Some $- \frac{3 y}{2}$ e $\frac{3 y}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + 0 + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.2.2

Some $\frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4}$ e $0$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} - \frac{9 y^{2}}{4} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.3

Para escrever $- \frac{9 y^{2}}{4}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2}}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.4

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.4.1

Multiplique $\frac{9 y^{2}}{4}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.4.2

Multiplique $4$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2}}{8} - \frac{9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.6

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.1.1

Fatore $9 y^{2}$ de $9 y^{2} - 9 y^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.2.6.1.1.1

Fatore $9 y^{2}$ de $9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1) - 9 y^{2} \cdot 2}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.6.1.1.2

Fatore $9 y^{2}$ de $- 9 y^{2} \cdot 2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1) + 9 y^{2} (- 1 \cdot 2)}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.6.1.1.3

Fatore $9 y^{2}$ de $9 y^{2} (1) + 9 y^{2} (- 1 \cdot 2)$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1 - 1 \cdot 2)}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.6.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} (1 - 2)}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.6.1.3

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{9 y^{2} \cdot - 1}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.6.1.4

Multiplique $- 1$ por $9$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{- 9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.6.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} + 4 y^{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.7

Para escrever $4 y^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{9 y^{2}}{8} + 4 y^{2} \cdot \frac{8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.8

Simplifique os termos.

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Etapa 10.2.8.1

Combine $4 y^{2}$ e $\frac{8}{8}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = - \frac{9 y^{2}}{8} + \frac{4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.8.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{- 9 y^{2} + 4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.9

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.9.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.9.1.1

Fatore $y^{2}$ de $- 9 y^{2} + 4 y^{2} \cdot 8$ .

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Etapa 10.2.9.1.1.1

Fatore $y^{2}$ de $- 9 y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} \cdot - 9 + 4 y^{2} \cdot 8}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.9.1.1.2

Fatore $y^{2}$ de $4 y^{2} \cdot 8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} \cdot - 9 + y^{2} (4 \cdot 8)}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.9.1.1.3

Fatore $y^{2}$ de $y^{2} \cdot - 9 + y^{2} (4 \cdot 8)$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} (- 9 + 4 \cdot 8)}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.9.1.2

Multiplique $4$ por $8$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} (- 9 + 32)}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.9.1.3

Some $- 9$ e $32$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{y^{2} \cdot 23}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.9.2

Mova $23$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{1}{2} + \frac{3 y}{2} - 1 + 10 y$

Etapa 10.2.10

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2} + 10 y$

Etapa 10.2.11

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2} + 10 y$

Etapa 10.2.12

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1 - 1 \cdot 2}{2} + 10 y$

Etapa 10.2.13

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.13.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{1 - 2}{2} + 10 y$

Etapa 10.2.13.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{- 1}{2} + 10 y$

Etapa 10.2.14

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} - \frac{1}{2} + 10 y$

Etapa 10.2.15

Para escrever $10 y$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + 10 y \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.16

Combine $10 y$ e $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y}{2} + \frac{10 y \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y + 10 y \cdot 2}{2} - \frac{1}{2}$

Etapa 10.2.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y + 10 y \cdot 2 - 1}{2}$

Etapa 10.2.19

Multiplique $2$ por $10$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{3 y + 20 y - 1}{2}$

Etapa 10.2.20

Some $3 y$ e $20 y$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{23 y - 1}{2}$

Etapa 10.2.21

Para escrever $\frac{23 y - 1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{23 y - 1}{2} \cdot \frac{4}{4}$

Etapa 10.2.22

Escreva cada expressão com um denominador comum de $8$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 10.2.22.1

Multiplique $\frac{23 y - 1}{2}$ por $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{(23 y - 1) \cdot 4}{2 \cdot 4}$

Etapa 10.2.22.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2}}{8} + \frac{(23 y - 1) \cdot 4}{8}$

Etapa 10.2.23

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + (23 y - 1) \cdot 4}{8}$

Etapa 10.2.24

Simplifique o numerador.

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Etapa 10.2.24.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + 23 y \cdot 4 - 1 \cdot 4}{8}$

Etapa 10.2.24.2

Multiplique $4$ por $23$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + 92 y - 1 \cdot 4}{8}$

Etapa 10.2.24.3

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$f (- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}) = \frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8}$

Etapa 10.2.25

A resposta final é $\frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8}$ .

$y = \frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8}$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{2} + 3 x y + 4 y^{2} - 2 x + 10 y$ .

$(- \frac{3 y}{4} + \frac{1}{2}, \frac{23 y^{2} + 92 y - 4}{8})$ é um mínimo local

Etapa 12