Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{2} - 16 x + 27$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 16 x + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$4 x - 16 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 16 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $4 x - 16$ e $0$ .

$4 x - 16$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - 16$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 16]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$f'' (x) = 4 + \frac{d}{d x} (- 16)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 4 + 0$

Etapa 2.3.2

Some $4$ e $0$ .

$f'' (x) = 4$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x - 16 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{2} - 16 x + 27$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{2}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [- 16 x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 x - 16 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 x - 16 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$4 x - 16 + \frac{d}{d x} [27]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $27$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $27$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x - 16 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $4 x - 16$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x - 16$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x - 16$ .

$4 x - 16$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x - 16 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x - 16 = 0$

Etapa 5.2

Some $16$ aos dois lados da equação.

$4 x = 16$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $4 x = 16$ por $4$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $4 x = 16$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{4 x}{4} = \frac{16}{4}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{16}{4}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Divida $16$ por $4$ .

$x = 4$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4$

Etapa 9

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 10

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

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Etapa 10.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 2 {(4)}^{2} - 16 \cdot 4 + 27$

Etapa 10.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 2 \cdot 16 - 16 \cdot 4 + 27$

Etapa 10.2.1.2

Multiplique $2$ por $16$ .

$f (4) = 32 - 16 \cdot 4 + 27$

Etapa 10.2.1.3

Multiplique $- 16$ por $4$ .

$f (4) = 32 - 64 + 27$

Etapa 10.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 10.2.2.1

Subtraia $64$ de $32$ .

$f (4) = - 32 + 27$

Etapa 10.2.2.2

Some $- 32$ e $27$ .

$f (4) = - 5$

Etapa 10.2.3

A resposta final é $- 5$ .

$y = - 5$

Etapa 11

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{2} - 16 x + 27$ .

$(4, - 5)$ é um mínimo local

Etapa 12