Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} [24 x]$

Etapa 1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 1.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Etapa 1.4.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 30 x + 24$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 30 x] + \frac{d}{d x} [24]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 30 x) + \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 30 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 30$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 30 x$ em relação a $x$ é $- 30 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 30$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + \frac{d}{d x} (24)$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30 + 0$

Etapa 2.4.2

Some $12 x - 30$ e $0$ .

$f'' (x) = 12 x - 30$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{2}] + \frac{d}{d x} [24 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 15 x^{2}) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 15 (2 x) + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 15$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + \frac{d}{d x} (24 x)$

Etapa 4.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x]$ .

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Etapa 4.1.4.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24 \cdot 1$

Etapa 4.1.4.3

Multiplique $24$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 30 x + 24$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 30 x + 24 = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} - 30 x + 24$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) - 30 x + 24 = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $6$ de $- 30 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (- 5 x) + 24 = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $6$ de $24$ .

$6 x^{2} + 6 (- 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Etapa 5.2.1.4

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 (- 5 x)$ .

$6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4 = 0$

Etapa 5.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} - 5 x) + 6 \cdot 4$ .

$6 (x^{2} - 5 x + 4) = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore.

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Etapa 5.2.2.1

Fatore $x^{2} - 5 x + 4$ usando o método AC.

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Etapa 5.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $4$ e cuja soma é $- 5$ .

$- 4, - 1$

Etapa 5.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 4) (x - 1)) = 0$

Etapa 5.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 4) (x - 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x - 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 5.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 5.5

Defina $x - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x - 1$ como igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $1$ aos dois lados da equação.

$x = 1$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 4) (x - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 4, 1$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 4$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (4) - 30$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $12$ por $4$ .

$48 - 30$

Etapa 9.2

Subtraia $30$ de $48$ .

$18$

Etapa 10

$x = 4$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 4$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 4$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = 2 {(4)}^{3} - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (4) = 2 \cdot 64 - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$f (4) = 128 - 15 {(4)}^{2} + 24 (4)$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (4) = 128 - 15 \cdot 16 + 24 (4)$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 15$ por $16$ .

$f (4) = 128 - 240 + 24 (4)$

Etapa 11.2.1.5

Multiplique $24$ por $4$ .

$f (4) = 128 - 240 + 96$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Subtraia $240$ de $128$ .

$f (4) = - 112 + 96$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 112$ e $96$ .

$f (4) = - 16$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 16$ .

$y = - 16$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (1) - 30$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Multiplique $12$ por $1$ .

$12 - 30$

Etapa 13.2

Subtraia $30$ de $12$ .

$- 18$

Etapa 14

$x = 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 2 {(1)}^{3} - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 \cdot 1 - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 15 {(1)}^{2} + 24 (1)$

Etapa 15.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 2 - 15 \cdot 1 + 24 (1)$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 15 + 24 (1)$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $24$ por $1$ .

$f (1) = 2 - 15 + 24$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 15.2.2.1

Subtraia $15$ de $2$ .

$f (1) = - 13 + 24$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 13$ e $24$ .

$f (1) = 11$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $11$ .

$y = 11$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} - 15 x^{2} + 24 x$ .

$(4, - 16)$ é um mínimo local

$(1, 11)$ é um máximo local

Etapa 17