Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{4} - 8 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{4} - 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$8 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$8 x^{3} - 8 (2 x)$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$8 x^{3} - 16 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $8 x^{3} - 16 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (8 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [8 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x^{3}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 8 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $8$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 16 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 16 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 16$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 16 x$ em relação a $x$ é $- 16 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 16 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 16 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 16$ por $1$ .

$f'' (x) = 24 x^{2} - 16$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$8 x^{3} - 16 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{4} - 8 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{4}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 8 x^{2})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 8 (2 x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 8$ .

$f' (x) = 8 x^{3} - 16 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $8 x^{3} - 16 x$ .

$8 x^{3} - 16 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $8 x^{3} - 16 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$8 x^{3} - 16 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $8 x$ de $8 x^{3} - 16 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $8 x$ de $8 x^{3}$ .

$8 x (x^{2}) - 16 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $8 x$ de $- 16 x$ .

$8 x (x^{2}) + 8 x (- 2) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $8 x$ de $8 x (x^{2}) + 8 x (- 2)$ .

$8 x (x^{2} - 2) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $x^{2} - 2$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 2 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $x^{2} - 2 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Some $2$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 2$

Etapa 5.5.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{2}$

Etapa 5.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $8 x (x^{2} - 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 {(0)}^{2} - 16$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$24 \cdot 0 - 16$

Etapa 9.1.2

Multiplique $24$ por $0$ .

$0 - 16$

Etapa 9.2

Subtraia $16$ de $0$ .

$- 16$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 {(0)}^{4} - 8 {(0)}^{2}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 8 {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 8 {(0)}^{2}$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 8 \cdot 0$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 8$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Etapa 11.2.2

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 {(\sqrt{2})}^{2} - 16$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$24 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16$

Etapa 13.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$24 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 16$

Etapa 13.1.1.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.4.1

Cancele o fator comum.

$24 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 16$

Etapa 13.1.1.4.2

Reescreva a expressão.

$24 \cdot 2^{1} - 16$

Etapa 13.1.1.5

Avalie o expoente.

$24 \cdot 2 - 16$

Etapa 13.1.2

Multiplique $24$ por $2$ .

$48 - 16$

Etapa 13.2

Subtraia $16$ de $48$ .

$32$

Etapa 14

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\sqrt{2}$ na expressão.

$f (\sqrt{2}) = 2 {(\sqrt{2})}^{4} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{2} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (\sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{2} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (\sqrt{2}) = 2^{1 + 2} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.2.2

Some $1$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 2^{3} - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (\sqrt{2}) = 8 - 8 {(\sqrt{2})}^{2}$

Etapa 15.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\sqrt{2}) = 8 - 8 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 15.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 15.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2$

Etapa 15.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$f (\sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2$

Etapa 15.2.1.5

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f (\sqrt{2}) = 8 - 16$

Etapa 15.2.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$f (\sqrt{2}) = - 8$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$y = - 8$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$24 {(- \sqrt{2})}^{2} - 16$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$24 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) - 16$

Etapa 17.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$24 (1 {\sqrt{2}}^{2}) - 16$

Etapa 17.1.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$24 {\sqrt{2}}^{2} - 16$

Etapa 17.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$24 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 16$

Etapa 17.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$24 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 16$

Etapa 17.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$24 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 16$

Etapa 17.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$24 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 16$

Etapa 17.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$24 \cdot 2^{1} - 16$

Etapa 17.1.4.5

Avalie o expoente.

$24 \cdot 2 - 16$

Etapa 17.1.5

Multiplique $24$ por $2$ .

$48 - 16$

Etapa 17.2

Subtraia $16$ de $48$ .

$32$

Etapa 18

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = - \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $- \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- \sqrt{2}) = 2 {(- \sqrt{2})}^{4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{2}}^{4}) - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 (1 {\sqrt{2}}^{4}) - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{2}}^{4}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 {\sqrt{2}}^{4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{4}$ como $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 {(2^{\frac{1}{2}})}^{4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{4}{2}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{\frac{2}{1}} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{2} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.5

Multiplique $2$ por $2^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.5.1

Multiplique $2$ por $2^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.5.1.1

Eleve $2$ à potência de $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2 \cdot 2^{2} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.5.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \sqrt{2}) = 2^{1 + 2} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.5.2

Some $1$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 2^{3} - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.6

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 {(- \sqrt{2})}^{2}$

Etapa 19.2.1.7

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{2}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})$

Etapa 19.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 (1 {\sqrt{2}}^{2})$

Etapa 19.2.1.9

Multiplique ${\sqrt{2}}^{2}$ por $1$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 19.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

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Etapa 19.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 19.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 19.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 19.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 19.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2$

Etapa 19.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 8 \cdot 2$

Etapa 19.2.1.11

Multiplique $- 8$ por $2$ .

$f (- \sqrt{2}) = 8 - 16$

Etapa 19.2.2

Subtraia $16$ de $8$ .

$f (- \sqrt{2}) = - 8$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $- 8$ .

$y = - 8$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{4} - 8 x^{2}$ .

$(0, 0)$ é um máximo local

$(\sqrt{2}, - 8)$ é um mínimo local

$(- \sqrt{2}, - 8)$ é um mínimo local

Etapa 21