Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$6 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} [2]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$6 x^{2} - 8 x + 0$

Etapa 1.4.2

Some $6 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x^{2} - 8 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 12 x + \frac{d}{d x} (- 8 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 x$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 8$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x - 8$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 4 x^{2}) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 4 (2 x) + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 4$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + \frac{d}{d x} (2)$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $6 x^{2} - 8 x$ e $0$ .

$f' (x) = 6 x^{2} - 8 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} - 8 x$ .

$6 x^{2} - 8 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} - 8 x = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} - 8 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore $2 x$ de $6 x^{2} - 8 x$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $2 x$ de $6 x^{2}$ .

$2 x (3 x) - 8 x = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 x$ de $- 8 x$ .

$2 x (3 x) + 2 x (- 4) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 x$ de $2 x (3 x) + 2 x (- 4)$ .

$2 x (3 x - 4) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$3 x - 4 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $3 x - 4$ como igual a $0$ .

$3 x - 4 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $3 x - 4 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Some $4$ aos dois lados da equação.

$3 x = 4$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ e simplifique.

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Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $3 x = 4$ por $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x}{3} = \frac{4}{3}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{4}{3}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $2 x (3 x - 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, \frac{4}{3}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (0) - 8$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 8$

Etapa 9.2

Subtraia $8$ de $0$ .

$- 8$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 2 {(0)}^{3} - 4 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 2 \cdot 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.2

Multiplique $2$ por $0$ .

$f (0) = 0 - 4 {(0)}^{2} + 2$

Etapa 11.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 4 \cdot 0 + 2$

Etapa 11.2.1.4

Multiplique $- 4$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 2$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 2$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $2$ .

$f (0) = 2$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $2$ .

$y = 2$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{4}{3}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 (\frac{4}{3}) - 8$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 13.1.1.1

Fatore $3$ de $12$ .

$3 (4) \frac{4}{3} - 8$

Etapa 13.1.1.2

Cancele o fator comum.

$3 \cdot 4 \frac{4}{3} - 8$

Etapa 13.1.1.3

Reescreva a expressão.

$4 \cdot 4 - 8$

Etapa 13.1.2

Multiplique $4$ por $4$ .

$16 - 8$

Etapa 13.2

Subtraia $8$ de $16$ .

$8$

Etapa 14

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{4}{3}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{4}{3}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{4}{3}$ na expressão.

$f (\frac{4}{3}) = 2 {(\frac{4}{3})}^{3} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{4^{3}}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{3^{3}}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = 2 (\frac{64}{27}) - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.4

Multiplique $2 (\frac{64}{27})$ .

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Etapa 15.2.1.4.1

Combine $2$ e $\frac{64}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{2 \cdot 64}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.4.2

Multiplique $2$ por $64$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 {(\frac{4}{3})}^{2} + 2$

Etapa 15.2.1.5

Aplique a regra do produto a $\frac{4}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{4^{2}}{3^{2}} + 2$

Etapa 15.2.1.6

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 \frac{16}{3^{2}} + 2$

Etapa 15.2.1.7

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - 4 (\frac{16}{9}) + 2$

Etapa 15.2.1.8

Multiplique $- 4 (\frac{16}{9})$ .

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Etapa 15.2.1.8.1

Combine $- 4$ e $\frac{16}{9}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 4 \cdot 16}{9} + 2$

Etapa 15.2.1.8.2

Multiplique $- 4$ por $16$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} + \frac{- 64}{9} + 2$

Etapa 15.2.1.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64}{9} + 2$

Etapa 15.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 15.2.2.1

Multiplique $\frac{64}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - (\frac{64}{9} \cdot \frac{3}{3}) + 2$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique $\frac{64}{9}$ por $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + 2$

Etapa 15.2.2.3

Escreva $2$ como uma fração com denominador $1$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1}$

Etapa 15.2.2.4

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2}{1} \cdot \frac{27}{27}$

Etapa 15.2.2.5

Multiplique $\frac{2}{1}$ por $\frac{27}{27}$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{9 \cdot 3} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.2.6

Reordene os fatores de $9 \cdot 3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{3 \cdot 9} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.2.7

Multiplique $3$ por $9$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128}{27} - \frac{64 \cdot 3}{27} + \frac{2 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 64 \cdot 3 + 2 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.4.1

Multiplique $- 64$ por $3$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 2 \cdot 27}{27}$

Etapa 15.2.4.2

Multiplique $2$ por $27$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{128 - 192 + 54}{27}$

Etapa 15.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 15.2.5.1

Subtraia $192$ de $128$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 64 + 54}{27}$

Etapa 15.2.5.2

Some $- 64$ e $54$ .

$f (\frac{4}{3}) = \frac{- 10}{27}$

Etapa 15.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{4}{3}) = - \frac{10}{27}$

Etapa 15.2.6

A resposta final é $- \frac{10}{27}$ .

$y = - \frac{10}{27}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 2 x^{3} - 4 x^{2} + 2$ .

$(0, 2)$ é um máximo local

$(\frac{4}{3}, - \frac{10}{27})$ é um mínimo local

Etapa 17