Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x e^{- 7 x}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x e^{- 7 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 7 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 7 x$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.3.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \cdot - 7) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 7 x}$ .

$4 (x (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \cdot 1)$

Etapa 1.4.5

Multiplique $e^{- 7 x}$ por $1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x})$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x (- 7 e^{- 7 x})) + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 1.5.2

Multiplique $- 7$ por $4$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 1.5.4

Reordene os fatores em $- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 28 x e^{- 7 x}] + \frac{d}{d x} [4 e^{- 7 x}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 28 x e^{- 7 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 28 x e^{- 7 x}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 28$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 28 x e^{- 7 x}$ em relação a $x$ é $- 28 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$ .

$f'' (x) = - 28 \frac{d}{d x} (x e^{- 7 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = - 28 (x \frac{d}{d x} (e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- 7 x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- 7 x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (- 7 x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.4

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} x)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (e^{- 7 x} \cdot - 7) + e^{- 7 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.8

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.2.9

Multiplique $e^{- 7 x}$ por $1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + \frac{d}{d x} (4 e^{- 7 x})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [4 e^{- 7 x}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 e^{- 7 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}]$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 \frac{d}{d x} (e^{- 7 x})$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 7 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- 7 x))$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- 7 x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- 7 x$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} (- 7 x))$

Etapa 2.3.3

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} x))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (e^{- 7 x} \cdot - 7)$

Etapa 2.3.6

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) + 4 (- 7 \cdot e^{- 7 x})$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 7$ por $4$ .

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x}) - 28 e^{- 7 x}$

Etapa 2.4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 28 (x (- 7 e^{- 7 x})) - 28 e^{- 7 x} - 28 e^{- 7 x}$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 7$ por $- 28$ .

$f'' (x) = 196 (x (e^{- 7 x})) - 28 e^{- 7 x} - 28 e^{- 7 x}$

Etapa 2.4.2.2

Subtraia $28 e^{- 7 x}$ de $- 28 e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = 196 x e^{- 7 x} - 56 e^{- 7 x}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 196 e^{- 7 x} x - 56 e^{- 7 x}$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $196 e^{- 7 x} x - 56 e^{- 7 x}$ .

$f'' (x) = 196 x e^{- 7 x} - 56 e^{- 7 x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x e^{- 7 x}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x e^{- 7 x}]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- 7 x}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [e^{- 7 x}] + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - 7 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- 7 x$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$4 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- 7 x$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [- 7 x]) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 7 x$ em relação a $x$ é $- 7 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \frac{d}{d x} [x])) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} (- 7 \cdot 1)) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 4.1.4.3.1

Multiplique $- 7$ por $1$ .

$4 (x (e^{- 7 x} \cdot - 7) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.3.2

Mova $- 7$ para a esquerda de $e^{- 7 x}$ .

$4 (x (- 7 \cdot e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x} \cdot 1)$

Etapa 4.1.4.5

Multiplique $e^{- 7 x}$ por $1$ .

$4 (x (- 7 e^{- 7 x}) + e^{- 7 x})$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x (- 7 e^{- 7 x})) + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $- 7$ por $4$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 4.1.5.3

Reordene os termos.

$- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 4.1.5.4

Reordene os fatores em $- 28 e^{- 7 x} x + 4 e^{- 7 x}$ .

$f' (x) = - 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $4 e^{- 7 x}$ de $- 28 x e^{- 7 x} + 4 e^{- 7 x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $4 e^{- 7 x}$ de $- 28 x e^{- 7 x}$ .

$4 e^{- 7 x} (- 7 x) + 4 e^{- 7 x} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 e^{- 7 x}$ de $4 e^{- 7 x}$ .

$4 e^{- 7 x} (- 7 x) + 4 e^{- 7 x} (1) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $4 e^{- 7 x}$ de $4 e^{- 7 x} (- 7 x) + 4 e^{- 7 x} (1)$ .

$4 e^{- 7 x} (- 7 x + 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- 7 x} = 0$

$- 7 x + 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- 7 x}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $e^{- 7 x}$ como igual a $0$ .

$e^{- 7 x} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- 7 x} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- 7 x}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- 7 x} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- 7 x + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $- 7 x + 1$ como igual a $0$ .

$- 7 x + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- 7 x + 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 7 x = - 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- 7 x = - 1$ por $- 7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 7 x = - 1$ por $- 7$ .

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 7 x}{- 7} = \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 7}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x = \frac{1}{7}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 e^{- 7 x} (- 7 x + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{1}{7}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{7}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{7}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$196 (\frac{1}{7}) e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1.1

Fatore $7$ de $196$ .

$7 (28) \frac{1}{7} e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.1.2

Cancele o fator comum.

$7 \cdot 28 \frac{1}{7} e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.1.3

Reescreva a expressão.

$28 e^{- 7 (\frac{1}{7})} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Fatore $7$ de $- 7$ .

$28 e^{7 (- 1) \frac{1}{7}} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.2.2

Cancele o fator comum.

$28 e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{7}} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva a expressão.

$28 e^{- 1} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$28 \frac{1}{e} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.4

Combine $28$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{28}{e} - 56 e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Fatore $7$ de $- 7$ .

$\frac{28}{e} - 56 e^{7 (- 1) \frac{1}{7}}$

Etapa 9.1.5.2

Cancele o fator comum.

$\frac{28}{e} - 56 e^{7 \cdot - 1 \frac{1}{7}}$

Etapa 9.1.5.3

Reescreva a expressão.

$\frac{28}{e} - 56 e^{- 1}$

Etapa 9.1.6

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{28}{e} - 56 \frac{1}{e}$

Etapa 9.1.7

Combine $- 56$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{28}{e} + \frac{- 56}{e}$

Etapa 9.1.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{28}{e} - \frac{56}{e}$

Etapa 9.2

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{28 - 56}{e}$

Etapa 9.2.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.2.1

Subtraia $56$ de $28$ .

$\frac{- 28}{e}$

Etapa 9.2.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{28}{e}$

Etapa 10

$x = \frac{1}{7}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{7}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{7}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{7}$ na expressão.

$f (\frac{1}{7}) = 4 (\frac{1}{7}) \cdot e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Combine $4$ e $\frac{1}{7}$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{- 7 (\frac{1}{7})}$

Etapa 11.2.2

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 11.2.2.1

Fatore $7$ de $- 7$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{7 (- 1) (\frac{1}{7})}$

Etapa 11.2.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{7 \cdot (- 1 (\frac{1}{7}))}$

Etapa 11.2.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot e^{- 1}$

Etapa 11.2.3

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7} \cdot \frac{1}{e}$

Etapa 11.2.4

Multiplique $\frac{4}{7}$ por $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{7}) = \frac{4}{7 e}$

Etapa 11.2.5

A resposta final é $\frac{4}{7 e}$ .

$y = \frac{4}{7 e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 4 x e^{- 7 x}$ .

$(\frac{1}{7}, \frac{4}{7 e})$ é um máximo local

Etapa 13