Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 - x^{4} y^{4}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Diferencie.

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Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{4} y^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4} y^{4}$ em relação a $x$ é $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Etapa 1.3

Subtraia $4 y^{4} x^{3}$ de $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 4 y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 4 y^{4} x^{3}$ em relação a $x$ é $- 4 y^{4} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} \frac{d}{d x} x^{3}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = - 4 y^{4} (3 x^{2})$

Etapa 2.3

Multiplique $3$ por $- 4$ .

$f'' (x) = - 12 y^{4} x^{2}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x^{4} y^{4}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Etapa 4.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{4} y^{4}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- y^{4}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{4} y^{4}$ em relação a $x$ é $- y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$0 - y^{4} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$0 - y^{4} (4 x^{3})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$0 - 4 y^{4} x^{3}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $4 y^{4} x^{3}$ de $0$ .

$f' (x) = - 4 y^{4} x^{3}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 4 y^{4} x^{3}$ .

$- 4 y^{4} x^{3}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 4 y^{4} x^{3} = 0$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ por $- 4 y^{4}$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $- 4 y^{4} x^{3} = 0$ por $- 4 y^{4}$ .

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 4$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 4 y^{4} x^{3}}{- 4 y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $y^{4}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y^{4} x^{3}}{y^{4}} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Etapa 5.2.2.2.2

Divida $x^{3}$ por $1$ .

$x^{3} = \frac{0}{- 4 y^{4}}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Cancele o fator comum de $0$ e $- 4$ .

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Etapa 5.2.3.1.1

Fatore $4$ de $0$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{- 4 y^{4}}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4 y^{4}$ .

$x^{3} = \frac{4 (0)}{4 (- y^{4})}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{3} = \frac{4 \cdot 0}{4 (- y^{4})}$

Etapa 5.2.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{3} = \frac{0}{- y^{4}}$

Etapa 5.2.3.2

Divida $0$ por $- y^{4}$ .

$x^{3} = 0$

Etapa 5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Etapa 5.4

Simplifique $\sqrt[3]{0}$ .

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Etapa 5.4.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Etapa 5.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais.

$x = 0$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 y^{4} {(0)}^{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 12 y^{4} \cdot 0$

Etapa 9.2

Multiplique $- 12 y^{4} \cdot 0$ .

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Etapa 9.2.1

Multiplique $0$ por $- 12$ .

$0 y^{4}$

Etapa 9.2.2

Multiplique $0$ por $y^{4}$ .

$0$

Etapa 10

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 11