Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x \sqrt{100 - x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{100 - x^{2}}$ como ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 100 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8

Combine frações.

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Etapa 1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8.3

Mova ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $100 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.10

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.14.3

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.18

Some $1$ e $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.20

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.20.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.20.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 1.23

Multiplique ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.24

Para escrever ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26

Multiplique ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.27

Simplifique ${(100 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.28

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.29

Combine $4$ e $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30

Simplifique.

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Etapa 1.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.30.2.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.2.2

Multiplique $4$ por $100$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.3

Reordene os termos.

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.4

Fatore $8$ de $- 8 x^{2} + 400$ .

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Etapa 1.30.4.1

Fatore $8$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.4.2

Fatore $8$ de $400$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.4.3

Fatore $8$ de $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.6

Reescreva $50$ como $- 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.8

Reescreva $- (x^{2} - 50)$ como $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 1.30.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{d}{d x} \frac{x^{2} - 50}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do quociente, que determina que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ é $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ , em que $f (x) = x^{2} - 50$ e $g (x) = {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 2.3

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 2.3.2.1

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 2.3.2.2

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.4

Simplifique.

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (x^{2} - 50) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.5

Diferencie.

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Etapa 2.5.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} - 50$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + \frac{d}{d x} (- 50)) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.5.3

Como $- 50$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 50$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x + 0) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.5.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 2.5.4.1

Some $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (2 x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.5.4.2

Mova $2$ para a esquerda de ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 \cdot ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) - (x^{2} - 50) \frac{d}{d x} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = - x^{2} + 100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2} + 100$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{d}{d u} (u^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.6.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.6.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2} + 100$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.8

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.10.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.10.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.11

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.11.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2} \cdot {(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.11.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{{(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.11.3

Mova ${(- x^{2} + 100)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{d}{d x} (- x^{2} + 100))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.12

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x^{2} + 100$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [100]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (\frac{d}{d x} (- x^{2}) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.13

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- (2 x) + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.15

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + \frac{d}{d x} (100)))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.16

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x + 0))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.17

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.17.1

Some $- 2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot (- 2 x))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.17.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot x)}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.17.3

Combine $\frac{- 2}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- 2 x}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.17.4

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.18

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.18.1

Fatore $2$ de $2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.18.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{2 (- x)}{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.18.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) \frac{- x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.19

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.19.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x - (x^{2} - 50) (- \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.19.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 1 (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.19.3

Multiplique $x^{2} - 50$ por $1$ .

$f'' (x) = - 8 \frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.20

Combine $- 8$ e $\frac{2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) \frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ .

$f'' (x) = \frac{- 8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + (x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{8 (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.1

Multiplique $2$ por $8$ .

$f'' (x) = - \frac{16 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x) + 8 ((x^{2} - 50) (\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}))}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.2

Multiplique $x^{2} - 50$ por $\frac{x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + 8 (\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}})}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.3

Combine $8$ e $\frac{(x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x + \frac{8 ((x^{2} - 50) x)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.4

Para escrever $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6

Reescreva $\frac{16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ em uma forma fatorada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.6.1

Fatore $8 x$ de $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + 8 (x^{2} - 50) x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.6.1.1

Fatore $8 x$ de $16 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} x {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 (x^{2} - 50) x}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.1.2

Fatore $8 x$ de $8 (x^{2} - 50) x$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.1.3

Fatore $8 x$ de $8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + 8 x (x^{2} - 50)$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.2

Combine expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.6.2.1

Multiplique ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.6.2.1.1

Mova ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 ({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.2.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.2.1.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 1}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.2.1.4

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 {(- x^{2} + 100)}^{\frac{2}{2}} + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.2.1.5

Divida $2$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.6.2.2

Simplifique $2 {(- x^{2} + 100)}^{1}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2} + 100) + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.2.7.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (2 (- x^{2}) + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.7.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 2 \cdot 100 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.7.3

Multiplique $2$ por $100$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- 2 x^{2} + 200 + x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.7.4

Some $- 2 x^{2}$ e $x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 200 - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.2.7.5

Subtraia $50$ de $200$ .

$f'' (x) = - \frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$

Etapa 2.22.3

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.3.1

Reescreva $\frac{\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}}{- x^{2} + 100}$ como um produto.

$f'' (x) = - (\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{- x^{2} + 100})$

Etapa 2.22.3.2

Multiplique $\frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{- x^{2} + 100}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

Etapa 2.22.3.3

Multiplique ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 100$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.3.3.1

Multiplique ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ por $- x^{2} + 100$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.22.3.3.1.1

Eleve $- x^{2} + 100$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}} (- x^{2} + 100)}$

Etapa 2.22.3.3.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + 1}}$

Etapa 2.22.3.3.2

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}}}$

Etapa 2.22.3.3.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1 + 2}{2}}}$

Etapa 2.22.3.3.4

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- x^{2} + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.22.4

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) + 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.22.5

Reescreva $150$ como $- 1 (- 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2}) - 1 \cdot - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.22.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.22.7

Reescreva $- (x^{2} - 150)$ como $- 1 (x^{2} - 150)$ .

$f'' (x) = - \frac{8 x (- 1 (x^{2} - 150))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.22.8

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 2.22.9

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f'' (x) = 1 (\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}})$

Etapa 2.22.10

Multiplique $\frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{(8 x) (x^{2} - 150)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{100 - x^{2}}$ como ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.1.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 4.1.2

$4 (x \frac{d}{d x} [{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 100 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $100 - x^{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.7

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (x (\frac{1}{2} {(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$4 (x (\frac{{(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8.3

Mova ${(100 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 (x (\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.8.4

Combine $\frac{1}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [100 - x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $100 - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [100] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.10

Como $100$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $100$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x^{2}] + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}]) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- (2 x)) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.14

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.14.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 (\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2 x) + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.14.2

Combine $- 2$ e $\frac{x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} x + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.14.3

Combine $\frac{- 2 x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$4 (\frac{- 2 x \cdot x}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.15

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x)}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.16

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (\frac{- 2 (x^{1} x^{1})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.17

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (\frac{- 2 x^{1 + 1}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.18

Some $1$ e $1$ .

$4 (\frac{- 2 x^{2}}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.19

Fatore $2$ de $- 2 x^{2}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.20

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.20.1

Fatore $2$ de $2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 ({(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.20.2

Cancele o fator comum.

$4 (\frac{2 (- x^{2})}{2 {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.20.3

Reescreva a expressão.

$4 (\frac{- x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.21

Mova o número negativo para a frente da fração.

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.22

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} \cdot 1)$

Etapa 4.1.23

Multiplique ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4.1.24

Para escrever ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$4 (- \frac{x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Etapa 4.1.25

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26

Multiplique ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ por ${(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.26.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.3

Some $1$ e $1$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.26.4

Divida $2$ por $2$ .

$4 \frac{- x^{2} + {(100 - x^{2})}^{1}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.27

Simplifique ${(100 - x^{2})}^{1}$ .

$4 \frac{- x^{2} + 100 - x^{2}}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.28

Subtraia $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$4 \frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.29

Combine $4$ e $\frac{- 2 x^{2} + 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 (- 2 x^{2} + 100)}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.30.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{4 (- 2 x^{2}) + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.2

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.30.2.1

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 4 \cdot 100}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.2.2

Multiplique $4$ por $100$ .

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(100 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.3

Reordene os termos.

$\frac{- 8 x^{2} + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.4

Fatore $8$ de $- 8 x^{2} + 400$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.30.4.1

Fatore $8$ de $- 8 x^{2}$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 400}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.4.2

Fatore $8$ de $400$ .

$\frac{8 (- x^{2}) + 8 (50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.4.3

Fatore $8$ de $8 (- x^{2}) + 8 (50)$ .

$\frac{8 (- x^{2} + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.5

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) + 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.6

Reescreva $50$ como $- 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2}) - 1 (- 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.7

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- 50)$ .

$\frac{8 (- (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.8

Reescreva $- (x^{2} - 50)$ como $- 1 (x^{2} - 50)$ .

$\frac{8 (- 1 (x^{2} - 50))}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.1.30.9

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = - \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{{(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$8 (x^{2} - 50) = 0$

Etapa 5.3

Resolva a equação para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $8 (x^{2} - 50) = 0$ por $8$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.1

Divida cada termo em $8 (x^{2} - 50) = 0$ por $8$ .

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1

Cancele o fator comum de $8$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8 (x^{2} - 50)}{8} = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.2.1.2

Divida $x^{2} - 50$ por $1$ .

$x^{2} - 50 = \frac{0}{8}$

Etapa 5.3.1.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1.3.1

Divida $0$ por $8$ .

$x^{2} - 50 = 0$

Etapa 5.3.2

Some $50$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 50$

Etapa 5.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{50}$

Etapa 5.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{50}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1

Reescreva $50$ como $5^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.4.1.1

Fatore $25$ de $50$ .

$x = \pm \sqrt{25 (2)}$

Etapa 5.3.4.1.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Etapa 5.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$x = \pm 5 \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 5 \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 5 \sqrt{2}$

Etapa 5.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{{(- x^{2} + 100)}^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$- \frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{8 (x^{2} - 50)}{\sqrt{- x^{2} + 100}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt{- x^{2} + 100} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao quadrado os dois lados da equação.

${\sqrt{- x^{2} + 100}}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{- x^{2} + 100}$ como ${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${({(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(- x^{2} + 100)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(- x^{2} + 100)}^{1} = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$- x^{2} + 100 = 0^{2}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- x^{2} + 100 = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Subtraia $100$ dos dois lados da equação.

$- x^{2} = - 100$

Etapa 6.3.3.2

Divida cada termo em $- x^{2} = - 100$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} = - 100$ por $- 1$ .

$\frac{- x^{2}}{- 1} = \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} = \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 6.3.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.3.1

Divida $- 100$ por $- 1$ .

$x^{2} = 100$

Etapa 6.3.3.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{100}$

Etapa 6.3.3.4

Simplifique $\pm \sqrt{100}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.4.1

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{10^{2}}$

Etapa 6.3.3.4.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 10$

Etapa 6.3.3.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 10$

Etapa 6.3.3.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 10$

Etapa 6.3.3.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 10, - 10$

Etapa 6.4

Defina o radicando em $\sqrt{- x^{2} + 100}$ como menor do que $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$- x^{2} + 100 < 0$

Etapa 6.5

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.1

Subtraia $100$ dos dois lados da desigualdade.

$- x^{2} < - 100$

Etapa 6.5.2

Divida cada termo em $- x^{2} < - 100$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.1

Divida cada termo em $- x^{2} < - 100$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x^{2}}{- 1} > \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x^{2}}{1} > \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 6.5.2.2.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} > \frac{- 100}{- 1}$

Etapa 6.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.2.3.1

Divida $- 100$ por $- 1$ .

$x^{2} > 100$

Etapa 6.5.3

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da desigualdade para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$\sqrt{x^{2}} > \sqrt{100}$

Etapa 6.5.4

Simplifique a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.1.1

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > \sqrt{100}$

Etapa 6.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1

Simplifique $\sqrt{100}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.4.2.1.1

Reescreva $100$ como $10^{2}$ .

$| x | > \sqrt{10^{2}}$

Etapa 6.5.4.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical.

$| x | > | 10 |$

Etapa 6.5.4.2.1.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $10$ é $10$ .

$| x | > 10$

Etapa 6.5.5

Escreva $| x | > 10$ em partes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.5.1

Para encontrar o intervalo da primeira parte, identifique onde o interior do valor absoluto é não negativo.

$x \geq 0$

Etapa 6.5.5.2

Na parte em que $x$ é não negativo, remova o valor absoluto.

$x > 10$

Etapa 6.5.5.3

Para encontrar o intervalo da segunda parte, identifique onde o interior do valor absoluto é negativo.

$x < 0$

Etapa 6.5.5.4

Na parte em que $x$ é negativo, remova o valor absoluto e multiplique por $- 1$ .

$- x > 10$

Etapa 6.5.5.5

Escreva em partes.

${\begin{cases} x > 10 & x \geq 0 \\ - x > 10 & x < 0 \end{cases}$

Etapa 6.5.6

Encontre a intersecção de $x > 10$ e $x \geq 0$ .

$x > 10$

Etapa 6.5.7

Divida cada termo em $- x > 10$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.1

Divida cada termo em $- x > 10$ por $- 1$ . Ao multiplicar ou dividir os dois lados de uma desigualdade por um valor negativo, inverta a direção do sinal de desigualdade.

$\frac{- x}{- 1} < \frac{10}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} < \frac{10}{- 1}$

Etapa 6.5.7.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x < \frac{10}{- 1}$

Etapa 6.5.7.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.5.7.3.1

Divida $10$ por $- 1$ .

$x < - 10$

Etapa 6.5.8

Encontre a união das soluções.

$x < - 10$ ou $x > 10$

Etapa 6.6

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

$x \leq - 10, x \geq 10$

$(- \infty, - 10] \cup [10, \infty)$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 5 \sqrt{2}, - 5 \sqrt{2}, - 10, 10$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 5 \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(8 (5 \sqrt{2})) ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Multiplique $8$ por $5$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (5^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.4

Multiplique $- (25 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.4.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Some $- 50$ e $100$ .

$\frac{40 \sqrt{2} ({(5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (5^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.2

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.4

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.5

Subtraia $150$ de $50$ .

$\frac{40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.3.6

Multiplique $- 100$ por $40$ .

$\frac{- 4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 9.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 10

$x = 5 \sqrt{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 5 \sqrt{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 5 \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $5 \sqrt{2}$ na expressão.

$f (5 \sqrt{2}) = 4 (5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $5$ por $4$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(5 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 11.2.1.2

Aplique a regra do produto a $5 \sqrt{2}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (5^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $5$ à potência de $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 11.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 11.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 11.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 11.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 11.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Etapa 11.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Etapa 11.2.3

Multiplique $- (25 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.3.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

Etapa 11.2.4

Subtraia $50$ de $100$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

Etapa 11.2.5

Reescreva $50$ como $5^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.5.1

Fatore $25$ de $50$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

Etapa 11.2.5.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Etapa 11.2.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (5 \sqrt{2}) = 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

Etapa 11.2.7

Multiplique $20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.7.1

Multiplique $5$ por $20$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 11.2.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Etapa 11.2.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Etapa 11.2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 11.2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 11.2.8

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 11.2.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 11.2.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 11.2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 11.2.8.4.2

Reescreva a expressão.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

Etapa 11.2.8.5

Avalie o expoente.

$f (5 \sqrt{2}) = 100 \cdot 2$

Etapa 11.2.9

Multiplique $100$ por $2$ .

$f (5 \sqrt{2}) = 200$

Etapa 11.2.10

A resposta final é $200$ .

$y = 200$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 5 \sqrt{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(8 (- 5 \sqrt{2})) ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Multiplique $- 5$ por $8$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- {(- 5 \sqrt{2})}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {\sqrt{2}}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2^{1}) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- (25 \cdot 2) + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4

Multiplique $- (25 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1.4.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.1.4.2

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{{(- 50 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Some $- 50$ e $100$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5 \sqrt{2})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.1

Aplique a regra do produto a $- 5 \sqrt{2}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.2

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {\sqrt{2}}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.3

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.3.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.3.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.3.3.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.3.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2^{1} - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.3.5

Avalie o expoente.

$\frac{- 40 \sqrt{2} (25 \cdot 2 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.4

Multiplique $25$ por $2$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} (50 - 150)}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.5

Subtraia $150$ de $50$ .

$\frac{- 40 \sqrt{2} \cdot - 100}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 13.3.6

Multiplique $- 100$ por $- 40$ .

$\frac{4000 \sqrt{2}}{50^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 14

$x = - 5 \sqrt{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 5 \sqrt{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 5 \sqrt{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 5 \sqrt{2}$ na expressão.

$f (- 5 \sqrt{2}) = 4 (- 5 \sqrt{2}) \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Multiplique $- 5$ por $4$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - {(- 5 \sqrt{2})}^{2}}$

Etapa 15.2.1.2

Aplique a regra do produto a $- 5 \sqrt{2}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - ({(- 5)}^{2} {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 15.2.1.3

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {\sqrt{2}}^{2})}$

Etapa 15.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2})}$

Etapa 15.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2})}$

Etapa 15.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 15.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2^{\frac{2}{2}})}$

Etapa 15.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Etapa 15.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - (25 \cdot 2)}$

Etapa 15.2.3

Multiplique $- (25 \cdot 2)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.3.1

Multiplique $25$ por $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 1 \cdot 50}$

Etapa 15.2.3.2

Multiplique $- 1$ por $50$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{100 - 50}$

Etapa 15.2.4

Subtraia $50$ de $100$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{50}$

Etapa 15.2.5

Reescreva $50$ como $5^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.5.1

Fatore $25$ de $50$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{25 (2)}$

Etapa 15.2.5.2

Reescreva $25$ como $5^{2}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} \sqrt{5^{2} \cdot 2}$

Etapa 15.2.6

Elimine os termos abaixo do radical.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$

Etapa 15.2.7

Multiplique $- 20 \sqrt{2} (5 \sqrt{2})$ .

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Etapa 15.2.7.1

Multiplique $5$ por $- 20$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \sqrt{2} \sqrt{2}$

Etapa 15.2.7.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Etapa 15.2.7.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 (\sqrt{2} \sqrt{2})$

Etapa 15.2.7.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{1 + 1}$

Etapa 15.2.7.5

Some $1$ e $1$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {\sqrt{2}}^{2}$

Etapa 15.2.8

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 15.2.8.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 15.2.8.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.8.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.8.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2^{\frac{2}{2}}$

Etapa 15.2.8.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

Etapa 15.2.8.5

Avalie o expoente.

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 100 \cdot 2$

Etapa 15.2.9

Multiplique $- 100$ por $2$ .

$f (- 5 \sqrt{2}) = - 200$

Etapa 15.2.10

A resposta final é $- 200$ .

$y = - 200$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = - 10$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- {(- 10)}^{2} + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Eleve $- 10$ à potência de $2$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 1 \cdot 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.1.2

Multiplique $- 1$ por $100$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(- 100 + 100)}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 17.2.1

Some $- 100$ e $100$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 17.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{{(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}$

Etapa 17.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 17.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{2 (\frac{3}{2})}}$

Etapa 17.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0^{3}}$

Etapa 17.2.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

Etapa 17.2.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{(8 (- 10)) ({(- 10)}^{2} - 150)}{0}$

Etapa 17.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 18

Como o teste da primeira derivada falhou, não há um extremo local.

Nenhum extremo local

Etapa 19