Cálculo Exemplos

$f (x) = 4 x + \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + \ln (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$4 + \frac{1}{x}$

Etapa 1.4

Reordene os termos.

$\frac{1}{x} + 4$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{x} + 4$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

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Etapa 2.2.1

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x^{- 1}) + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + \frac{d}{d x} (4)$

Etapa 2.3

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = - x^{- 2} + 0$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}} + 0$

Etapa 2.4.2

Some $- \frac{1}{x^{2}}$ e $0$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$\frac{1}{x} + 4 = 0$

Etapa 4

Visto que não há um valor de $x$ que torne a primeira derivada igual a $0$ , não há extremos locais.

Nenhum extremo local

Etapa 5

Nenhum extremo local

Etapa 6