Cálculo Exemplos

$f (x) = 7 x \ln (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 1.4.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Etapa 1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Etapa 1.5.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Etapa 1.5.3

Reordene os termos.

$7 \ln (x) + 7$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $7 \ln (x) + 7$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (7 \ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [7 \ln (x)]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 \ln (x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$f'' (x) = 7 \frac{d}{d x} (\ln (x)) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = 7 (\frac{1}{x}) + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.2.3

Combine $7$ e $\frac{1}{x}$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + \frac{d}{d x} (7)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x} + 0$

Etapa 2.3.2

Some $\frac{7}{x}$ e $0$ .

$f'' (x) = \frac{7}{x}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x \ln (x)$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$7 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \ln (x)$ .

$7 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.3

A derivada de $\ln (x)$ em relação a $x$ é $\frac{1}{x}$ .

$7 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$7 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$7 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 4.1.4.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$7 (1 + \ln (x) \cdot 1)$

Etapa 4.1.4.4

Multiplique $\ln (x)$ por $1$ .

$7 (1 + \ln (x))$

Etapa 4.1.5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$7 \cdot 1 + 7 \ln (x)$

Etapa 4.1.5.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$7 + 7 \ln (x)$

Etapa 4.1.5.3

Reordene os termos.

$f' (x) = 7 \ln (x) + 7$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $7 \ln (x) + 7$ .

$7 \ln (x) + 7$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $7 \ln (x) + 7 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$7 \ln (x) + 7 = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $7$ dos dois lados da equação.

$7 \ln (x) = - 7$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $7 \ln (x) = - 7$ por $7$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $7 \ln (x) = - 7$ por $7$ .

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{7 \ln (x)}{7} = \frac{- 7}{7}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $\ln (x)$ por $1$ .

$\ln (x) = \frac{- 7}{7}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Divida $- 7$ por $7$ .

$\ln (x) = - 1$

Etapa 5.4

Para resolver $x$ , reescreva a equação usando propriedades de logaritmos.

$e^{\ln (x)} = e^{- 1}$

Etapa 5.5

Reescreva $\ln (x) = - 1$ na forma exponencial usando a definição de um logaritmo. Se $x$ e $b$ forem números reais positivos e $b \neq 1$ , então, $\log_{b} (x) = y$ será equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x$

Etapa 5.6

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.6.1

Reescreva a equação como $x = e^{- 1}$ .

$x = e^{- 1}$

Etapa 5.6.2

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Defina o argumento em $\ln (x)$ como menor do que ou igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$x \leq 0$

Etapa 6.2

A equação é indefinida quando o denominador é igual a $0$ , o argumento de uma raiz quadrada é menor do que $0$ ou o argumento de um logaritmo é menor do que ou igual a $0$ .

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

$x \leq 0$

$(- \infty, 0]$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{e}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{e}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{7}{\frac{1}{e}}$

Etapa 9

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$7 e$

Etapa 10

$x = \frac{1}{e}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{e}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{e}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{e}$ na expressão.

$f (\frac{1}{e}) = 7 (\frac{1}{e}) \ln (\frac{1}{e})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Combine $7$ e $\frac{1}{e}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (\frac{1}{e})$

Etapa 11.2.2

Reescreva $\frac{1}{e}$ como $1 e^{- 1}$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot \ln (1 e^{- 1})$

Etapa 11.2.3

Reescreva $\ln (1 e^{- 1})$ como $\ln (1) + \ln (e^{- 1})$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) + \ln (e^{- 1}))$

Etapa 11.2.4

Use as regras logarítmicas para mover $- 1$ para fora do expoente.

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - \ln (e))$

Etapa 11.2.5

O logaritmo natural de $e$ é $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1 \cdot 1)$

Etapa 11.2.6

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (\ln (1) - 1)$

Etapa 11.2.7

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot (0 - 1)$

Etapa 11.2.8

Subtraia $1$ de $0$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7}{e} \cdot - 1$

Etapa 11.2.9

Multiplique $\frac{7}{e} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.9.1

Combine $\frac{7}{e}$ e $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{7 \cdot - 1}{e}$

Etapa 11.2.9.2

Multiplique $7$ por $- 1$ .

$f (\frac{1}{e}) = \frac{- 7}{e}$

Etapa 11.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f (\frac{1}{e}) = - \frac{7}{e}$

Etapa 11.2.11

A resposta final é $- \frac{7}{e}$ .

$y = - \frac{7}{e}$

Etapa 12

Esses são os extremos locais para $f (x) = 7 x \ln (x)$ .

$(\frac{1}{e}, - \frac{7}{e})$ é um mínimo local

Etapa 13