Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$6 + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{\frac{6}{7}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

$6 + 7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{6}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $7$ de $6$ .

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$6 + 7 (\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{6}{7}$ e $x^{- \frac{1}{7}}$ .

$6 + 7 \frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Etapa 1.3.9

Combine $7$ e $\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$ .

$6 + \frac{7 (6 x^{- \frac{1}{7}})}{7}$

Etapa 1.3.10

Multiplique $6$ por $7$ .

$6 + \frac{42 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Etapa 1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{7}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$6 + \frac{42}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 1.3.12

Fatore $7$ de $42$ .

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.13.1

Fatore $7$ de $7 x^{\frac{1}{7}}$ .

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 (x^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 2.1.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}]$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} (\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}})$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{1}{7}}}$ como ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 \frac{d}{d x} ({(x^{\frac{1}{7}})}^{- 1})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{1}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{1}{7}}))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{7}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{1}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{7}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- {(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{7}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{\frac{1}{7} \cdot - 2} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Etapa 2.2.5.2

Combine $\frac{1}{7}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{\frac{- 2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Etapa 2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1}))$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}}))$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}}))$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 1 \cdot 7}{7}}))$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{1 - 7}{7}}))$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $7$ de $1$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{\frac{- 6}{7}}))$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} (\frac{1}{7} x^{- \frac{6}{7}}))$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{1}{7}$ e $x^{- \frac{6}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- x^{- \frac{2}{7}} \frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7})$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{x^{- \frac{6}{7}}}{7}$ e $x^{- \frac{2}{7}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{6}{7}} x^{- \frac{2}{7}}}{7})$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{6}{7}}$ por $x^{- \frac{2}{7}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{6}{7} - \frac{2}{7}}}{7})$

Etapa 2.2.13.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{\frac{- 6 - 2}{7}}}{7})$

Etapa 2.2.13.3

Subtraia $2$ de $- 6$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{\frac{- 8}{7}}}{7})$

Etapa 2.2.13.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{x^{- \frac{8}{7}}}{7})$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{8}{7}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 + 6 (- \frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}})$

Etapa 2.2.15

Multiplique $- 1$ por $6$ .

$f'' (x) = 0 - 6 \frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 2.2.16

Combine $- 6$ e $\frac{1}{7 x^{\frac{8}{7}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{- 6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 2.2.17

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - \frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 2.3

Subtraia $\frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$ de $0$ .

$f'' (x) = - \frac{6}{7 x^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (6 x) + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 + \frac{d}{d x} (7 x^{\frac{6}{7}})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [7 x^{\frac{6}{7}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $7$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $7 x^{\frac{6}{7}}$ em relação a $x$ é $7 \frac{d}{d x} [x^{\frac{6}{7}}]$ .

$f' (x) = 6 + 7 \frac{d}{d x} (x^{\frac{6}{7}})$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{6}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1})$

Etapa 4.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} - 1 \cdot \frac{7}{7}})$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{7}{7}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6}{7} + \frac{- 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 4.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 1 \cdot 7}{7}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $7$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{6 - 7}{7}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Subtraia $7$ de $6$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{\frac{- 1}{7}})$

Etapa 4.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6}{7} x^{- \frac{1}{7}})$

Etapa 4.1.3.8

Combine $\frac{6}{7}$ e $x^{- \frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = 6 + 7 (\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7})$

Etapa 4.1.3.9

Combine $7$ e $\frac{6 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 (6 x^{- \frac{1}{7}})}{7}$

Etapa 4.1.3.10

Multiplique $6$ por $7$ .

$f' (x) = 6 + \frac{42 x^{- \frac{1}{7}}}{7}$

Etapa 4.1.3.11

Mova $x^{- \frac{1}{7}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{42}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 4.1.3.12

Fatore $7$ de $42$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 4.1.3.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.13.1

Fatore $7$ de $7 x^{\frac{1}{7}}$ .

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 (x^{\frac{1}{7}})}$

Etapa 4.1.3.13.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 6 + \frac{7 \cdot 6}{7 x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 4.1.3.13.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{1}{7}}, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$ por $x^{\frac{1}{7}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} = - 6$ por $x^{\frac{1}{7}}$ .

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} x^{\frac{1}{7}} = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{1}{7}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{x^{\frac{1}{7}}} x^{\frac{1}{7}} = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Reescreva a expressão.

$6 = - 6 x^{\frac{1}{7}}$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ .

$- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ por $- 6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $- 6 x^{\frac{1}{7}} = 6$ por $- 6$ .

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{7}}}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 6 x^{\frac{1}{7}}}{- 6} = \frac{6}{- 6}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{1}{7}}$ por $1$ .

$x^{\frac{1}{7}} = \frac{6}{- 6}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Divida $6$ por $- 6$ .

$x^{\frac{1}{7}} = - 1$

Etapa 5.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $7$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = {(- 1)}^{7}$

Etapa 5.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 1)}^{7}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = {(- 1)}^{7}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = {(- 1)}^{7}$

Etapa 5.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = {(- 1)}^{7}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $7$ .

$x = - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Converta expressões com expoentes fracionários em radicais.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$6 + \frac{6}{\sqrt[7]{x^{1}}}$

Etapa 6.1.2

Qualquer número elevado a $1$ é a própria base.

$6 + \frac{6}{\sqrt[7]{x}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{6}{\sqrt[7]{x}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[7]{x} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $7$ ª potência.

${\sqrt[7]{x}}^{7} = 0^{7}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[7]{x}$ como $x^{\frac{1}{7}}$ .

${(x^{\frac{1}{7}})}^{7} = 0^{7}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{7}})}^{7}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{7} \cdot 7} = 0^{7}$

Etapa 6.3.2.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = 0^{7}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Simplifique.

$x = 0^{7}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - 1, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$- \frac{6}{7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 9.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{8}{7})}}$

Etapa 9.1.3

Cancele o fator comum de $7$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.3.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{7 (\frac{8}{7})}}$

Etapa 9.1.3.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{6}{7 {(- 1)}^{8}}$

Etapa 9.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $8$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $7$ por $1$ .

$- \frac{6}{7}$

Etapa 10

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 6 (- 1) + 7 {(- 1)}^{\frac{6}{7}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $6$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{\frac{6}{7}}$

Etapa 11.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{7}$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {({(- 1)}^{7})}^{\frac{6}{7}}$

Etapa 11.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{7 (\frac{6}{7})}$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{7 (\frac{6}{7})}$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 1) = - 6 + 7 {(- 1)}^{6}$

Etapa 11.2.1.5

Eleve $- 1$ à potência de $6$ .

$f (- 1) = - 6 + 7 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.6

Multiplique $7$ por $1$ .

$f (- 1) = - 6 + 7$

Etapa 11.2.2

Some $- 6$ e $7$ .

$f (- 1) = 1$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $1$ .

$y = 1$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- \frac{6}{7 {(0)}^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Reescreva $0$ como $0^{7}$ .

$- \frac{6}{7 {(0^{7})}^{\frac{8}{7}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $7$ .

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Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{7 (\frac{8}{7})}}$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{6}{7 \cdot 0^{8}}$

Etapa 13.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 13.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- \frac{6}{7 \cdot 0}$

Etapa 13.3.2

Multiplique $7$ por $0$ .

$- \frac{6}{0}$

Etapa 13.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$- \frac{6}{0}$

Etapa 13.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 14

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 14.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 14.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 14.2.2

A resposta final é $6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{{(- 4)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 14.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = 6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 14.3.2

A resposta final é $6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{{(- 0.5)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 14.4

Substitua qualquer número, como $2$ , do intervalo $(0, \infty)$ na primeira derivada $6 + \frac{6}{x^{\frac{1}{7}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 14.4.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f' (2) = 6 + \frac{6}{{(2)}^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 14.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 14.4.2.1

Remova os parênteses.

$f' (2) = 6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 14.4.2.2

A resposta final é $6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$ .

$6 + \frac{6}{2^{\frac{1}{7}}}$

Etapa 14.5

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um máximo local.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 14.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 0$ , então $x = 0$ é um mínimo local.

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 14.7

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 x + 7 x^{\frac{6}{7}}$ .

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 0$ é um mínimo local

Etapa 15