Cálculo Exemplos

$f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 x^{3} - 12 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{3}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $64$ .

$192 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} [8]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$192 x^{2} - 12 + 0$

Etapa 1.4.2

Some $192 x^{2} - 12$ e $0$ .

$192 x^{2} - 12$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $192 x^{2} - 12$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [192 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (192 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [192 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $192$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $192 x^{2}$ em relação a $x$ é $192 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 192 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 192 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $2$ por $192$ .

$f'' (x) = 384 x + \frac{d}{d x} (- 12)$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 384 x + 0$

Etapa 2.3.2

Some $384 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 384 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$192 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $64 x^{3} - 12 x + 8$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [64 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (64 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [64 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $64$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $64 x^{3}$ em relação a $x$ é $64 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 64 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 64 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $64$ .

$f' (x) = 192 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

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Etapa 4.1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + \frac{d}{d x} (8)$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 4.1.4.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $192 x^{2} - 12$ e $0$ .

$f' (x) = 192 x^{2} - 12$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $192 x^{2} - 12$ .

$192 x^{2} - 12$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $192 x^{2} - 12 = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$192 x^{2} - 12 = 0$

Etapa 5.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$192 x^{2} = 12$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $192 x^{2} = 12$ por $192$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $192 x^{2} = 12$ por $192$ .

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $192$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{192 x^{2}}{192} = \frac{12}{192}$

Etapa 5.3.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{12}{192}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $12$ e $192$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $12$ de $12$ .

$x^{2} = \frac{12 (1)}{192}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $12$ de $192$ .

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{12 \cdot 1}{12 \cdot 16}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = \frac{1}{16}$

Etapa 5.4

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{16}}$

Etapa 5.5

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{16}}$ .

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Etapa 5.5.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{16}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.5.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{16}}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.5.3.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{4^{2}}}$

Etapa 5.5.3.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm \frac{1}{4}$

Etapa 5.6

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 5.6.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{1}{4}$

Etapa 5.6.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{1}{4}$

Etapa 5.6.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{1}{4}, - \frac{1}{4}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{1}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$384 (\frac{1}{4})$

Etapa 9

Cancele o fator comum de $4$ .

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Etapa 9.1

Fatore $4$ de $384$ .

$4 (96) \frac{1}{4}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 96 \frac{1}{4}$

Etapa 9.3

Reescreva a expressão.

$96$

Etapa 10

$x = \frac{1}{4}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{1}{4}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{1}{4}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{1}{4}$ na expressão.

$f (\frac{1}{4}) = 64 {(\frac{1}{4})}^{3} - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 11.2.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{4^{3}}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Etapa 11.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Etapa 11.2.1.4

Cancele o fator comum de $64$ .

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Etapa 11.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{4}) = 64 (\frac{1}{64}) - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Etapa 11.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 12 (\frac{1}{4}) + 8$

Etapa 11.2.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.5.1

Fatore $4$ de $- 12$ .

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 (- 3) (\frac{1}{4}) + 8$

Etapa 11.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{1}{4}) = 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{1}{4})) + 8$

Etapa 11.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{1}{4}) = 1 - 3 + 8$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 11.2.2.1

Subtraia $3$ de $1$ .

$f (\frac{1}{4}) = - 2 + 8$

Etapa 11.2.2.2

Some $- 2$ e $8$ .

$f (\frac{1}{4}) = 6$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $6$ .

$y = 6$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{1}{4}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$384 (- \frac{1}{4})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$384 (\frac{- 1}{4})$

Etapa 13.1.2

Fatore $4$ de $384$ .

$4 (96) \frac{- 1}{4}$

Etapa 13.1.3

Cancele o fator comum.

$4 \cdot 96 \frac{- 1}{4}$

Etapa 13.1.4

Reescreva a expressão.

$96 \cdot - 1$

Etapa 13.2

Multiplique $96$ por $- 1$ .

$- 96$

Etapa 14

$x = - \frac{1}{4}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{1}{4}$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{1}{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{4}$ na expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 {(- \frac{1}{4})}^{3} - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 15.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} {(\frac{1}{4})}^{3}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{4}$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 ({(- 1)}^{3} (\frac{1^{3}}{4^{3}})) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1^{3}}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{4^{3}}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (- \frac{1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.5

Cancele o fator comum de $64$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{64}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.5.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{4}) = 64 (\frac{- 1}{64}) - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.5.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (- \frac{1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.6

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.6.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{4}$ para o numerador.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 12 (\frac{- 1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.6.2

Fatore $4$ de $- 12$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 (- 3) (\frac{- 1}{4}) + 8$

Etapa 15.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 4 \cdot (- 3 (\frac{- 1}{4})) + 8$

Etapa 15.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 - 3 \cdot - 1 + 8$

Etapa 15.2.1.7

Multiplique $- 3$ por $- 1$ .

$f (- \frac{1}{4}) = - 1 + 3 + 8$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Some $- 1$ e $3$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 2 + 8$

Etapa 15.2.2.2

Some $2$ e $8$ .

$f (- \frac{1}{4}) = 10$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $10$ .

$y = 10$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = 64 x^{3} - 12 x + 8$ .

$(\frac{1}{4}, 6)$ é um mínimo local

$(- \frac{1}{4}, 10)$ é um máximo local

Etapa 17