Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x + \cos (2 x + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [\cos (2 x + 1)]$ .

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 1.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$5 + \frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.3.1.2

A derivada de $\cos (u)$ em relação a $u$ é $- \sin (u)$ .

$5 - \sin (u) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \frac{d}{d x} [2 x + 1]$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])$

Etapa 1.3.5

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0)$

Etapa 1.3.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 - \sin (2 x + 1) (2 + 0)$

Etapa 1.3.7

Some $2$ e $0$ .

$5 - \sin (2 x + 1) \cdot 2$

Etapa 1.3.8

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 - 2 \sin (2 x + 1)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Diferencie.

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Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - 2 \sin (2 x + 1)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Etapa 2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- 2 \sin (2 x + 1))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 \sin (2 x + 1)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 \sin (2 x + 1)$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\sin (2 x + 1)]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 \frac{d}{d x} \sin (2 x + 1)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x + 1$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\frac{d}{d u} (\sin (u)) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (u) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 x + 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \frac{d}{d x} (2 x + 1))$

Etapa 2.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (\frac{d}{d x} (2 x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Etapa 2.2.4

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (1)))$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (1)))$

Etapa 2.2.6

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 \cdot 1 + 0))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) (2 + 0))$

Etapa 2.2.8

Some $2$ e $0$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (\cos (2 x + 1) \cdot 2)$

Etapa 2.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x + 1)$ .

$f'' (x) = 0 - 2 (2 \cdot \cos (2 x + 1))$

Etapa 2.2.10

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 4 \cos (2 x + 1)$

Etapa 2.3

Subtraia $4 \cos (2 x + 1)$ de $0$ .

$f'' (x) = - 4 \cos (2 x + 1)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 - 2 \sin (2 x + 1) = 0$

Etapa 4

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$

Etapa 5

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ por $- 2$ e simplifique.

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $- 2 \sin (2 x + 1) = - 5$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

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Etapa 5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 \sin (2 x + 1)}{- 2} = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 5.2.1.2

Divida $\sin (2 x + 1)$ por $1$ .

$\sin (2 x + 1) = \frac{- 5}{- 2}$

Etapa 5.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\sin (2 x + 1) = \frac{5}{2}$

Etapa 6

O intervalo do seno é $- 1 \leq y \leq 1$ . Como $\frac{5}{2}$ não se enquadra nesse intervalo, não há solução.

Nenhuma solução

Etapa 7

Avalie a segunda derivada em $x =$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 4 \cos (2 + 1)$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 8.1

Some $2$ e $1$ .

$- 4 \cos (3)$

Etapa 8.2

Avalie $\cos (3)$ .

$- 4 \cdot 0.99862953$

Etapa 8.3

Multiplique $- 4$ por $0.99862953$ .

$- 3.99451813$

Etapa 9

$x =$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x =$ é um máximo local

Etapa 10

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 x + \cos (2 x + 1)$ .

$(, i s a (l o c a l) (m a x i m u m))$ é um máximo local

Etapa 11