Cálculo Exemplos

$f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [6 \cos^{2} (x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$6 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$6 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$6 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$6 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.2.4

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$6 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $- 2$ por $6$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 1.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 12 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.6

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.7

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 12 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.8

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.2.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} (- 12 \cos (x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 \cos (x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 \frac{d}{d x} \cos (x)$

Etapa 2.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 12 (- \sin (x))$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$f'' (x) = - 12 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) - 12 (- \sin^{2} (x)) + 12 \sin (x)$

Etapa 2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 12$ .

$f'' (x) = - 12 \cos^{2} (x) + 12 \sin^{2} (x) + 12 \sin (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x) = 0$

Etapa 4

Fatore $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ .

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Etapa 4.1

Fatore $12 \cos (x)$ de $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ .

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Etapa 4.1.1

Fatore $12 \cos (x)$ de $- 12 \cos (x) \sin (x)$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) - 12 \cos (x) = 0$

Etapa 4.1.2

Fatore $12 \cos (x)$ de $- 12 \cos (x)$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Etapa 4.1.3

Fatore $12 \cos (x)$ de $12 \cos (x) (- 1 \sin (x)) + 12 \cos (x) \cdot - 1$ .

$12 \cos (x) (- 1 \sin (x) - 1) = 0$

Etapa 4.2

Reescreva $- 1 \sin (x)$ como $- \sin (x)$ .

$12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$

Etapa 5

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$- \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 6

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 6.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 6.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 6.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 6.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 6.2.5

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 7

Defina $- \sin (x) - 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 7.1

Defina $- \sin (x) - 1$ como igual a $0$ .

$- \sin (x) - 1 = 0$

Etapa 7.2

Resolva $- \sin (x) - 1 = 0$ para $x$ .

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Etapa 7.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- \sin (x) = 1$

Etapa 7.2.2

Divida cada termo em $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ e simplifique.

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Etapa 7.2.2.1

Divida cada termo em $- \sin (x) = 1$ por $- 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 7.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.2.2.2.2

Divida $\sin (x)$ por $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{- 1}$

Etapa 7.2.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.2.3.1

Divida $1$ por $- 1$ .

$\sin (x) = - 1$

Etapa 7.2.3

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Etapa 7.2.4

Simplifique o lado direito.

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Etapa 7.2.4.1

O valor exato de $\arcsin (- 1)$ é $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Etapa 7.2.5

A função do seno é negativa no terceiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia a solução de $2 π$ para determinar um ângulo de referência. Depois, some esse ângulo de referência com $π$ para encontrar a solução no terceiro quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Etapa 7.2.6

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 7.2.6.1

Subtraia $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Etapa 7.2.6.2

O ângulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ é positivo, menor do que $2 π$ e coterminal com $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 7.2.7

A solução para a equação $x = - \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 8

A solução final são todos os valores que tornam $12 \cos (x) (- \sin (x) - 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, - \frac{π}{2}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 10.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.3

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 12 \cdot 1^{2} + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.6

Multiplique $12$ por $1$ .

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 10.1.7

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 12 + 12 \cdot 1$

Etapa 10.1.8

Multiplique $12$ por $1$ .

$0 + 12 + 12$

Etapa 10.2

Simplifique somando os números.

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Etapa 10.2.1

Some $0$ e $12$ .

$12 + 12$

Etapa 10.2.2

Some $12$ e $12$ .

$24$

Etapa 11

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 12

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 12.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cos^{2} (\frac{π}{2}) - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 12.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.2.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0^{2} - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 6 \cdot 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2.1.3

Multiplique $6$ por $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \sin (\frac{π}{2})$

Etapa 12.2.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12 \cdot 1$

Etapa 12.2.1.5

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0 - 12$

Etapa 12.2.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = - 12$

Etapa 12.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$y = - 12$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 12 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 12 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 12 \cdot 0^{2} + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 12 \cdot 0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.4

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$0 + 12 \sin^{2} (\frac{3 π}{2}) + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$0 + 12 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 12 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 12 {(- 1)}^{2} + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$0 + 12 \cdot 1 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.9

Multiplique $12$ por $1$ .

$0 + 12 + 12 \sin (\frac{3 π}{2})$

Etapa 14.1.10

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$0 + 12 + 12 (- \sin (\frac{π}{2}))$

Etapa 14.1.11

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 12 + 12 (- 1 \cdot 1)$

Etapa 14.1.12

Multiplique $12 (- 1 \cdot 1)$ .

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Etapa 14.1.12.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 12 + 12 \cdot - 1$

Etapa 14.1.12.2

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$0 + 12 - 12$

Etapa 14.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 14.2.1

Some $0$ e $12$ .

$12 - 12$

Etapa 14.2.2

Subtraia $12$ de $12$ .

$0$

Etapa 15

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 15.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{π}{2}) \cup (- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}) \cup (\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}) \cup (\frac{3 π}{2}, \infty)$

Etapa 15.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{π}{2})$ na primeira derivada $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 15.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - 12 \cos (- 4) \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

Etapa 15.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 15.2.2.1.1

Avalie $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = - 12 \cdot (- 0.65364362 \sin (- 4)) - 12 \cos (- 4)$

Etapa 15.2.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 7.84372345 \sin (- 4) - 12 \cos (- 4)$

Etapa 15.2.2.1.3

Avalie $\sin (- 4)$ .

$f' (- 4) = 7.84372345 \cdot 0.75680249 - 12 \cos (- 4)$

Etapa 15.2.2.1.4

Multiplique $7.84372345$ por $0.75680249$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cos (- 4)$

Etapa 15.2.2.1.5

Avalie $\cos (- 4)$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 - 12 \cdot - 0.65364362$

Etapa 15.2.2.1.6

Multiplique $- 12$ por $- 0.65364362$ .

$f' (- 4) = 5.93614947 + 7.84372345$

Etapa 15.2.2.2

Some $5.93614947$ e $7.84372345$ .

$f' (- 4) = 13.77987293$

Etapa 15.2.2.3

A resposta final é $13.77987293$ .

$13.77987293$

Etapa 15.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ na primeira derivada $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - 12 \cos (0) \sin (0) - 12 \cos (0)$

Etapa 15.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.3.2.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = - 12 \cdot (1 \sin (0)) - 12 \cos (0)$

Etapa 15.3.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (0) = - 12 \sin (0) - 12 \cos (0)$

Etapa 15.3.2.1.3

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$f' (0) = - 12 \cdot 0 - 12 \cos (0)$

Etapa 15.3.2.1.4

Multiplique $- 12$ por $0$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cos (0)$

Etapa 15.3.2.1.5

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f' (0) = 0 - 12 \cdot 1$

Etapa 15.3.2.1.6

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f' (0) = 0 - 12$

Etapa 15.3.2.2

Subtraia $12$ de $0$ .

$f' (0) = - 12$

Etapa 15.3.2.3

A resposta final é $- 12$ .

$- 12$

Etapa 15.4

Substitua qualquer número, como $3$ , do intervalo $(\frac{π}{2}, \frac{3 π}{2})$ na primeira derivada $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.1

Substitua a variável $x$ por $3$ na expressão.

$f' (3) = - 12 \cos (3) \sin (3) - 12 \cos (3)$

Etapa 15.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.4.2.1.1

Avalie $\cos (3)$ .

$f' (3) = - 12 \cdot (- 0.98999249 \sin (3)) - 12 \cos (3)$

Etapa 15.4.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 11.87990995 \sin (3) - 12 \cos (3)$

Etapa 15.4.2.1.3

Avalie $\sin (3)$ .

$f' (3) = 11.87990995 \cdot 0.14112 - 12 \cos (3)$

Etapa 15.4.2.1.4

Multiplique $11.87990995$ por $0.14112$ .

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cos (3)$

Etapa 15.4.2.1.5

Avalie $\cos (3)$ .

$f' (3) = 1.67649298 - 12 \cdot - 0.98999249$

Etapa 15.4.2.1.6

Multiplique $- 12$ por $- 0.98999249$ .

$f' (3) = 1.67649298 + 11.87990995$

Etapa 15.4.2.2

Some $1.67649298$ e $11.87990995$ .

$f' (3) = 13.55640294$

Etapa 15.4.2.3

A resposta final é $13.55640294$ .

$13.55640294$

Etapa 15.5

Substitua qualquer número, como $7$ , do intervalo $(\frac{3 π}{2}, \infty)$ na primeira derivada $- 12 \cos (x) \sin (x) - 12 \cos (x)$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f' (7) = - 12 \cos (7) \sin (7) - 12 \cos (7)$

Etapa 15.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.5.2.1.1

Avalie $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 12 \cdot (0.75390225 \sin (7)) - 12 \cos (7)$

Etapa 15.5.2.1.2

Multiplique $- 12$ por $0.75390225$ .

$f' (7) = - 9.04682705 \sin (7) - 12 \cos (7)$

Etapa 15.5.2.1.3

Avalie $\sin (7)$ .

$f' (7) = - 9.04682705 \cdot 0.65698659 - 12 \cos (7)$

Etapa 15.5.2.1.4

Multiplique $- 9.04682705$ por $0.65698659$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cos (7)$

Etapa 15.5.2.1.5

Avalie $\cos (7)$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 12 \cdot 0.75390225$

Etapa 15.5.2.1.6

Multiplique $- 12$ por $0.75390225$ .

$f' (7) = - 5.94364413 - 9.04682705$

Etapa 15.5.2.2

Subtraia $9.04682705$ de $- 5.94364413$ .

$f' (7) = - 14.99047118$

Etapa 15.5.2.3

A resposta final é $- 14.99047118$ .

$- 14.99047118$

Etapa 15.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - \frac{π}{2}$ , então $x = - \frac{π}{2}$ é um máximo local.

$x = - \frac{π}{2}$ é um máximo local

Etapa 15.7

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = \frac{π}{2}$ , então $x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = \frac{3 π}{2}$ , então $x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 15.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 6 \cos^{2} (x) - 12 \sin (x)$ .

$x = - \frac{π}{2}$ é um máximo local

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

$x = - \frac{π}{2}$ é um máximo local

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

$x = \frac{3 π}{2}$ é um máximo local

Etapa 16