Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 x - 15 x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 15 x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$5 - 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 1.3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 - 15 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 1.3.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$5 - 15 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.9

Combine $- 15$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$5 + \frac{- 15 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 1.3.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$5 + \frac{- 15}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.11

Fatore $3$ de $- 15$ .

$5 + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.12.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$5 + \frac{3 \cdot - 5}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 1.3.12.2

Cancele o fator comum.

$5 + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.12.3

Reescreva a expressão.

$5 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 1.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}]$ .

$f'' (x) = 0 - 5 \frac{d}{d x} \frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 2.2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{\frac{2}{3}}}$ como ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 \frac{d}{d x} {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 1}$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (\frac{d}{d u} (u^{- 1}) \frac{d}{d x} (x^{\frac{2}{3}}))$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} \frac{d}{d x} x^{\frac{2}{3}})$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- {(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{- 2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{\frac{2}{3} \cdot - 2} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5.2

Multiplique $\frac{2}{3} \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.5.2.1

Combine $\frac{2}{3}$ e $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{\frac{2 \cdot - 2}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{\frac{- 4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}))$

Etapa 2.2.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}))$

Etapa 2.2.7

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}))$

Etapa 2.2.9

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.9.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}))$

Etapa 2.2.9.2

Subtraia $3$ de $2$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}))$

Etapa 2.2.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} (\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}))$

Etapa 2.2.11

Combine $\frac{2}{3}$ e $x^{- \frac{1}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- x^{- \frac{4}{3}} \frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.12

Combine $\frac{2 x^{- \frac{1}{3}}}{3}$ e $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- \frac{2 x^{- \frac{1}{3}} x^{- \frac{4}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13

Multiplique $x^{- \frac{1}{3}}$ por $x^{- \frac{4}{3}}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.13.1

Mova $x^{- \frac{4}{3}}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- \frac{2 (x^{- \frac{4}{3}} x^{- \frac{1}{3}})}{3})$

Etapa 2.2.13.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = 0 - 5 (- \frac{2 x^{- \frac{4}{3} - \frac{1}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = 0 - 5 (- \frac{2 x^{\frac{- 4 - 1}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.4

Subtraia $1$ de $- 4$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- \frac{2 x^{\frac{- 5}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.13.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = 0 - 5 (- \frac{2 x^{- \frac{5}{3}}}{3})$

Etapa 2.2.14

Mova $x^{- \frac{5}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = 0 - 5 (- \frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Etapa 2.2.15

Multiplique $- 1$ por $- 5$ .

$f'' (x) = 0 + 5 (\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}})$

Etapa 2.2.16

Combine $5$ e $\frac{2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{5 \cdot 2}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.2.17

Multiplique $5$ por $2$ .

$f'' (x) = 0 + \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 2.3

Some $0$ e $\frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$ .

$f'' (x) = \frac{10}{3 x^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 x - 15 x^{\frac{1}{3}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5 x) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 5 \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (x) = 5 + \frac{d}{d x} (- 15 x^{\frac{1}{3}})$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 15 x^{\frac{1}{3}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 15$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 15 x^{\frac{1}{3}}$ em relação a $x$ é $- 15 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{3}}]$ .

$f' (x) = 5 - 15 \frac{d}{d x} x^{\frac{1}{3}}$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$f' (x) = 5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1})$

Etapa 4.1.3.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}})$

Etapa 4.1.3.4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$f' (x) = 5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$f' (x) = 5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{1 - 3}{3}})$

Etapa 4.1.3.6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$f' (x) = 5 - 15 (\frac{1}{3} x^{\frac{- 2}{3}})$

Etapa 4.1.3.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 5 - 15 (\frac{1}{3} x^{- \frac{2}{3}})$

Etapa 4.1.3.8

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 5 - 15 \frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.3.9

Combine $- 15$ e $\frac{x^{- \frac{2}{3}}}{3}$ .

$f' (x) = 5 + \frac{- 15 x^{- \frac{2}{3}}}{3}$

Etapa 4.1.3.10

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 5 + \frac{- 15}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.11

Fatore $3$ de $- 15$ .

$f' (x) = 5 + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.12

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.12.1

Fatore $3$ de $3 x^{\frac{2}{3}}$ .

$f' (x) = 5 + \frac{3 \cdot - 5}{3 (x^{\frac{2}{3}})}$

Etapa 4.1.3.12.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 5 + \frac{3 \cdot - 5}{3 x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.12.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 5 + \frac{- 5}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.1.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} = 0$

Etapa 5.2

Subtraia $5$ dos dois lados da equação.

$- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} = - 5$

Etapa 5.3

Encontre o MMC dos termos na equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.1

Encontrar o MMC de uma lista de valores é o mesmo que encontrar o MMC dos denominadores desses valores.

$x^{\frac{2}{3}}, 1$

Etapa 5.3.2

O MMC de um e qualquer expressão é a expressão.

$x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4

Multiplique cada termo em $- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} = - 5$ por $x^{\frac{2}{3}}$ para eliminar as frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Multiplique cada termo em $- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} = - 5$ por $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Cancele o fator comum de $x^{\frac{2}{3}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ para o numerador.

$\frac{- 5}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5}{x^{\frac{2}{3}}} x^{\frac{2}{3}} = - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.4.2.1.3

Reescreva a expressão.

$- 5 = - 5 x^{\frac{2}{3}}$

Etapa 5.5

Resolva a equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Reescreva a equação como $- 5 x^{\frac{2}{3}} = - 5$ .

$- 5 x^{\frac{2}{3}} = - 5$

Etapa 5.5.2

Divida cada termo em $- 5 x^{\frac{2}{3}} = - 5$ por $- 5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Divida cada termo em $- 5 x^{\frac{2}{3}} = - 5$ por $- 5$ .

$\frac{- 5 x^{\frac{2}{3}}}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Etapa 5.5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 5 x^{\frac{2}{3}}}{- 5} = \frac{- 5}{- 5}$

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $x^{\frac{2}{3}}$ por $1$ .

$x^{\frac{2}{3}} = \frac{- 5}{- 5}$

Etapa 5.5.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.3.1

Divida $- 5$ por $- 5$ .

$x^{\frac{2}{3}} = 1$

Etapa 5.5.3

Eleve cada lado da equação à potência de $\frac{3}{2}$ para eliminar o expoente fracionário no lado esquerdo.

${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.5.4

Simplifique o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1

Simplifique ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{\frac{3}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.1.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.5.4.1.1.1.3.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.5.4.1.1.2

Simplifique.

$x = \pm 1^{\frac{3}{2}}$

Etapa 5.5.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.4.2.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \pm 1$

Etapa 5.5.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 1$

Etapa 5.5.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 1$

Etapa 5.5.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 1, - 1$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$5 - \frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{5}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[3]{x^{2}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve ao cubo os dois lados da equação.

${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{x^{2}}$ como $x^{\frac{2}{3}}$ .

${(x^{\frac{2}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{2}{3}})}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{2}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 0^{3}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 6.3.3.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 6.3.3.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 6.3.3.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 1, - 1, 0$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{10}{3 {(1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{10}{3 \cdot 1}$

Etapa 9.2

Multiplique $3$ por $1$ .

$\frac{10}{3}$

Etapa 10

$x = 1$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = 5 (1) - 15 {(1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 15 {(1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 11.2.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (1) = 5 - 15 \cdot 1$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 15$ por $1$ .

$f (1) = 5 - 15$

Etapa 11.2.2

Subtraia $15$ de $5$ .

$f (1) = - 10$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $- 10$ .

$y = - 10$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 1$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{10}{3 {(- 1)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$\frac{10}{3 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 13.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 13.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{3 {(- 1)}^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 13.1.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{3 {(- 1)}^{5}}$

Etapa 13.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $5$ .

$\frac{10}{3 \cdot - 1}$

Etapa 13.2

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$\frac{10}{- 3}$

Etapa 13.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{10}{3}$

Etapa 14

$x = - 1$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f (- 1) = 5 (- 1) - 15 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 5 - 15 {(- 1)}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 15.2.1.2

Reescreva $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f (- 1) = - 5 - 15 {({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}}$

Etapa 15.2.1.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- 1) = - 5 - 15 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 15.2.1.4

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- 1) = - 5 - 15 {(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})}$

Etapa 15.2.1.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- 1) = - 5 - 15 \cdot - 1$

Etapa 15.2.1.5

Avalie o expoente.

$f (- 1) = - 5 - 15 \cdot - 1$

Etapa 15.2.1.6

Multiplique $- 15$ por $- 1$ .

$f (- 1) = - 5 + 15$

Etapa 15.2.2

Some $- 5$ e $15$ .

$f (- 1) = 10$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $10$ .

$y = 10$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{10}{3 {(0)}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Reescreva $0$ como $0^{3}$ .

$\frac{10}{3 {(0^{3})}^{\frac{5}{3}}}$

Etapa 17.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{10}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 17.2

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{10}{3 \cdot 0^{3 (\frac{5}{3})}}$

Etapa 17.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{10}{3 \cdot 0^{5}}$

Etapa 17.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{10}{3 \cdot 0}$

Etapa 17.3.2

Multiplique $3$ por $0$ .

$\frac{10}{0}$

Etapa 17.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{10}{0}$

Etapa 17.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 18

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Etapa 18.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - 1)$ na primeira derivada $5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = 5 - \frac{5}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.2.2

A resposta final é $5 - \frac{5}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 - \frac{5}{{(- 4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3

Substitua qualquer número, como $- 0.5$ , do intervalo $(- 1, 0)$ na primeira derivada $5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.3.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5$ na expressão.

$f' (- 0.5) = 5 - \frac{5}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.3.2

A resposta final é $5 - \frac{5}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 - \frac{5}{{(- 0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.4

Substitua qualquer número, como $0.5$ , do intervalo $(0, 1)$ na primeira derivada $5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.1

Substitua a variável $x$ por $0.5$ na expressão.

$f' (0.5) = 5 - \frac{5}{{(0.5)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.4.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.4.2.1.1

Eleve $0.5$ à potência de $\frac{2}{3}$ .

$f' (0.5) = 5 - \frac{5}{0.62996052}$

Etapa 18.4.2.1.2

Divida $5$ por $0.62996052$ .

$f' (0.5) = 5 - 1 \cdot 7.93700525$

Etapa 18.4.2.1.3

Multiplique $- 1$ por $7.93700525$ .

$f' (0.5) = 5 - 7.93700525$

Etapa 18.4.2.2

Subtraia $7.93700525$ de $5$ .

$f' (0.5) = - 2.93700525$

Etapa 18.4.2.3

A resposta final é $- 2.93700525$ .

$- 2.93700525$

Etapa 18.5

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(1, \infty)$ na primeira derivada $5 - \frac{5}{x^{\frac{2}{3}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 5 - \frac{5}{{(4)}^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 18.5.2.1

Remova os parênteses.

$f' (4) = 5 - \frac{5}{4^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.5.2.2

A resposta final é $5 - \frac{5}{4^{\frac{2}{3}}}$ .

$5 - \frac{5}{4^{\frac{2}{3}}}$

Etapa 18.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - 1$ , então $x = - 1$ é um máximo local.

$x = - 1$ é um máximo local

Etapa 18.7

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 18.8

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 1$ , então $x = 1$ é um mínimo local.

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 18.9

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 x - 15 x^{\frac{1}{3}}$ .

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

$x = - 1$ é um máximo local

$x = 1$ é um mínimo local

Etapa 19