Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [5 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [\cos (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2.2

A derivada de $\cos (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \sin (u_{1})$ .

$5 (- \sin (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$5 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$5 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$5 (- \sin (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$5 (- 2 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.2.7

Multiplique $- 2$ por $5$ .

$- 10 \sin (2 x) + \frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 1.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 1.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$- 10 \sin (2 x) - 12 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.3.7

Multiplique $2$ por $- 12$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} [3]$

Etapa 1.4

Diferencie usando a regra da constante.

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Etapa 1.4.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) + 0$

Etapa 1.4.2

Some $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ e $0$ .

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 10 \sin (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 \sin (2 x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \sin (2 x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\sin (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} \sin (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\frac{d}{d u (1)} (\sin (u_{1})) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.2.2

A derivada de $\sin (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\cos (u_{1})$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \frac{d}{d x} (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x))) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (2 x) \cdot 2) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 x)$ .

$f'' (x) = - 10 (2 \cdot \cos (2 x)) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + \frac{d}{d x} (- 24 \cos (2 x))$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 24 \cos (2 x)]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 24 \cos (2 x)$ em relação a $x$ é $- 24 \frac{d}{d x} [\cos (2 x)]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 \frac{d}{d x} \cos (2 x)$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = 2 x$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (\frac{d}{d u (2)} (\cos (u_{2})) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.2

A derivada de $\cos (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $- \sin (u_{2})$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 x$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} (2 x))$

Etapa 2.3.3

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} (x)))$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) (2 \cdot 1))$

Etapa 2.3.5

Multiplique $2$ por $1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- \sin (2 x) \cdot 2)$

Etapa 2.3.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) - 24 (- 2 \sin (2 x))$

Etapa 2.3.7

Multiplique $- 2$ por $- 24$ .

$f'' (x) = - 20 \cos (2 x) + 48 \sin (2 x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 10 \sin (2 x) - 24 \cos (2 x) = 0$

Etapa 4

Divida cada termo na equação por $\cos (2 x)$ .

$\frac{- 10 \sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 5

Separe as frações.

$\frac{- 10}{1} \cdot \frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)} + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 6

Converta de $\frac{\sin (2 x)}{\cos (2 x)}$ em $\tan (2 x)$ .

$\frac{- 10}{1} \cdot \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 7

Divida $- 10$ por $1$ .

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 8

Cancele o fator comum de $\cos (2 x)$ .

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Etapa 8.1

Cancele o fator comum.

$- 10 \tan (2 x) + \frac{- 24 \cos (2 x)}{\cos (2 x)} = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 8.2

Divida $- 24$ por $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{\cos (2 x)}$

Etapa 9

Separe as frações.

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (2 x)}$

Etapa 10

Converta de $\frac{1}{\cos (2 x)}$ em $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = \frac{0}{1} \cdot \sec (2 x)$

Etapa 11

Divida $0$ por $1$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0 \sec (2 x)$

Etapa 12

Multiplique $0$ por $\sec (2 x)$ .

$- 10 \tan (2 x) - 24 = 0$

Etapa 13

Some $24$ aos dois lados da equação.

$- 10 \tan (2 x) = 24$

Etapa 14

Divida cada termo em $- 10 \tan (2 x) = 24$ por $- 10$ e simplifique.

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Etapa 14.1

Divida cada termo em $- 10 \tan (2 x) = 24$ por $- 10$ .

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Etapa 14.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 14.2.1

Cancele o fator comum de $- 10$ .

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Etapa 14.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 10 \tan (2 x)}{- 10} = \frac{24}{- 10}$

Etapa 14.2.1.2

Divida $\tan (2 x)$ por $1$ .

$\tan (2 x) = \frac{24}{- 10}$

Etapa 14.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 14.3.1

Cancele o fator comum de $24$ e $- 10$ .

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Etapa 14.3.1.1

Fatore $2$ de $24$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 (12)}{- 10}$

Etapa 14.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.3.1.2.1

Fatore $2$ de $- 10$ .

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Etapa 14.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\tan (2 x) = \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot - 5}$

Etapa 14.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\tan (2 x) = \frac{12}{- 5}$

Etapa 14.3.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\tan (2 x) = - \frac{12}{5}$

Etapa 15

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$2 x = \arctan (- \frac{12}{5})$

Etapa 16

Simplifique o lado direito.

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Etapa 16.1

Avalie $\arctan (- \frac{12}{5})$ .

$2 x = - 1.1760052$

Etapa 17

Divida cada termo em $2 x = - 1.1760052$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 17.1

Divida cada termo em $2 x = - 1.1760052$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Etapa 17.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 17.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{- 1.1760052}{2}$

Etapa 17.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1.1760052}{2}$

Etapa 17.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 17.3.1

Divida $- 1.1760052$ por $2$ .

$x = - 0.5880026$

Etapa 18

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265)$

Etapa 19

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 19.1

Some $2 π$ a $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = - 1.1760052 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 19.2

O ângulo resultante de $1.96558744$ é positivo e coterminal com $- 1.1760052 - (3.14159265)$ .

$2 x = 1.96558744$

Etapa 19.3

Divida cada termo em $2 x = 1.96558744$ por $2$ e simplifique.

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Etapa 19.3.1

Divida cada termo em $2 x = 1.96558744$ por $2$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Etapa 19.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 19.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 19.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1.96558744}{2}$

Etapa 19.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{1.96558744}{2}$

Etapa 19.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 19.3.3.1

Divida $1.96558744$ por $2$ .

$x = 0.98279372$

Etapa 20

A solução para a equação $2 x = - 1.1760052$ .

$x = - 0.5880026, 0.98279372$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada em $x = - 0.5880026$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 \cos (2 (- 0.5880026)) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Etapa 22

Simplifique cada termo.

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Etapa 22.1

Multiplique $2$ por $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (2 (- 0.5880026))$

Etapa 22.2

Multiplique $2$ por $- 0.5880026$ .

$- 20 \cos (- 1.1760052) + 48 \sin (- 1.1760052)$

Etapa 23

$x = - 0.5880026$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 0.5880026$ é um máximo local

Etapa 24

Encontre o valor y quando $x = - 0.5880026$ .

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Etapa 24.1

Substitua a variável $x$ por $- 0.5880026$ na expressão.

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (2 (- 0.5880026)) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Etapa 24.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 24.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 24.2.1.1

Multiplique $2$ por $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (2 (- 0.5880026)) + 3$

Etapa 24.2.1.2

Multiplique $2$ por $- 0.5880026$ .

$f (- 0.5880026) = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Etapa 24.2.2

A resposta final é $5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$ .

$y = 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3$

Etapa 25

Avalie a segunda derivada em $x = 0.98279372$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 20 \cos (2 (0.98279372)) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Etapa 26

Simplifique cada termo.

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Etapa 26.1

Multiplique $2$ por $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (2 (0.98279372))$

Etapa 26.2

Multiplique $2$ por $0.98279372$ .

$- 20 \cos (1.96558744) + 48 \sin (1.96558744)$

Etapa 27

$x = 0.98279372$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0.98279372$ é um mínimo local

Etapa 28

Encontre o valor y quando $x = 0.98279372$ .

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Etapa 28.1

Substitua a variável $x$ por $0.98279372$ na expressão.

$f (0.98279372) = 5 \cos (2 (0.98279372)) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Etapa 28.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 28.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 28.2.1.1

Multiplique $2$ por $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (2 (0.98279372)) + 3$

Etapa 28.2.1.2

Multiplique $2$ por $0.98279372$ .

$f (0.98279372) = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Etapa 28.2.2

A resposta final é $5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$ .

$y = 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3$

Etapa 29

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 \cos (2 x) - 12 \sin (2 x) + 3$ .

$(- 0.5880026, 5 \cos (- 1.1760052) - 12 \sin (- 1.1760052) + 3)$ é um máximo local

$(0.98279372, 5 \cos (1.96558744) - 12 \sin (1.96558744) + 3)$ é um mínimo local

Etapa 30