Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 \cos^{2} (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

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Etapa 1.1

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 \cos^{2} (x)$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \cos (x)$ .

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Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\cos (x)$ .

$5 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$5 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\cos (x)$ .

$5 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.3

Multiplique $2$ por $5$ .

$10 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)])$

Etapa 1.4

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$10 \cos (x) (- \sin (x))$

Etapa 1.5

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$- 10 \cos (x) \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 \cos (x) \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$f'' (x) = - 10 \frac{d}{d x} (\cos (x) \sin (x))$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \cos (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.4

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.5

Eleve $\cos (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 10 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.7

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (\cos (x)))$

Etapa 2.8

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x)))$

Etapa 2.9

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Etapa 2.10

Eleve $\sin (x)$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - (\sin (x) \sin (x)))$

Etapa 2.11

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1})$

Etapa 2.12

Some $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 10 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x))$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) - 10 (- \sin^{2} (x))$

Etapa 2.13.2

Multiplique $- 1$ por $- 10$ .

$f'' (x) = - 10 \cos^{2} (x) + 10 \sin^{2} (x)$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$

Etapa 4

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

$\sin (x) = 0$

Etapa 5

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.1

Defina $\cos (x)$ como igual a $0$ .

$\cos (x) = 0$

Etapa 5.2

Resolva $\cos (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.2.1

Obtenha o cosseno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do cosseno.

$x = \arccos (0)$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.2.1

O valor exato de $\arccos (0)$ é $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.3

A função do cosseno é positiva no primeiro e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $2 π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4

Simplifique $2 π - \frac{π}{2}$ .

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Etapa 5.2.4.1

Para escrever $2 π$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2

Combine frações.

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Etapa 5.2.4.2.1

Combine $2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Etapa 5.2.4.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.2.4.3.1

Multiplique $2$ por $2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Etapa 5.2.4.3.2

Subtraia $π$ de $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Etapa 5.2.5

A solução para a equação $x = \frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}$

Etapa 6

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 6.1

Defina $\sin (x)$ como igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Etapa 6.2

Resolva $\sin (x) = 0$ para $x$ .

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Etapa 6.2.1

Obtenha o seno inverso dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro do seno.

$x = \arcsin (0)$

Etapa 6.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 6.2.2.1

O valor exato de $\arcsin (0)$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 6.2.3

A função do seno é positiva no primeiro e no segundo quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no segundo quadrante.

$x = π - 0$

Etapa 6.2.4

Subtraia $0$ de $π$ .

$x = π$

Etapa 6.2.5

A solução para a equação $x = 0$ .

$x = 0, π$

Etapa 7

A solução final são todos os valores que tornam $- 10 \cos (x) \sin (x) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{π}{2}, \frac{3 π}{2}, 0, π$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 9.1.4

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 10 \cdot 1^{2}$

Etapa 9.1.5

Um elevado a qualquer potência é um.

$0 + 10 \cdot 1$

Etapa 9.1.6

Multiplique $10$ por $1$ .

$0 + 10$

Etapa 9.2

Some $0$ e $10$ .

$10$

Etapa 10

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{π}{2}$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 11.2.1

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Etapa 11.2.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 5 \cdot 0$

Etapa 11.2.3

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (\frac{π}{2}) = 0$

Etapa 11.2.4

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{3 π}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10 \cos^{2} (\frac{3 π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 13.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 10 \cos^{2} (\frac{π}{2}) + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$- 10 \cdot 0^{2} + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 10 \cdot 0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.4

Multiplique $- 10$ por $0$ .

$0 + 10 \sin^{2} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 13.1.5

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o seno é negativo no quarto quadrante.

$0 + 10 {(- \sin (\frac{π}{2}))}^{2}$

Etapa 13.1.6

O valor exato de $\sin (\frac{π}{2})$ é $1$ .

$0 + 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Etapa 13.1.7

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$0 + 10 {(- 1)}^{2}$

Etapa 13.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$0 + 10 \cdot 1$

Etapa 13.1.9

Multiplique $10$ por $1$ .

$0 + 10$

Etapa 13.2

Some $0$ e $10$ .

$10$

Etapa 14

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{3 π}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{3 π}{2}$ na expressão.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{3 π}{2})$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 15.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cos^{2} (\frac{π}{2})$

Etapa 15.2.2

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0^{2}$

Etapa 15.2.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 5 \cdot 0$

Etapa 15.2.4

Multiplique $5$ por $0$ .

$f (\frac{3 π}{2}) = 0$

Etapa 15.2.5

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10 \cos^{2} (0) + 10 \sin^{2} (0)$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 17.1.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 10 \cdot 1^{2} + 10 \sin^{2} (0)$

Etapa 17.1.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (0)$

Etapa 17.1.3

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Etapa 17.1.4

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Etapa 17.1.5

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Etapa 17.1.6

Multiplique $10$ por $0$ .

$- 10 + 0$

Etapa 17.2

Some $- 10$ e $0$ .

$- 10$

Etapa 18

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = 5 \cos^{2} (0)$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 19.2.1

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (0) = 5 \cdot 1^{2}$

Etapa 19.2.2

Um elevado a qualquer potência é um.

$f (0) = 5 \cdot 1$

Etapa 19.2.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (0) = 5$

Etapa 19.2.4

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 20

Avalie a segunda derivada em $x = π$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$- 10 \cos^{2} (π) + 10 \sin^{2} (π)$

Etapa 21

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 21.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 21.1.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$- 10 {(- \cos (0))}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Etapa 21.1.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$- 10 {(- 1 \cdot 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Etapa 21.1.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$- 10 {(- 1)}^{2} + 10 \sin^{2} (π)$

Etapa 21.1.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$- 10 \cdot 1 + 10 \sin^{2} (π)$

Etapa 21.1.5

Multiplique $- 10$ por $1$ .

$- 10 + 10 \sin^{2} (π)$

Etapa 21.1.6

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante.

$- 10 + 10 \sin^{2} (0)$

Etapa 21.1.7

O valor exato de $\sin (0)$ é $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0^{2}$

Etapa 21.1.8

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$- 10 + 10 \cdot 0$

Etapa 21.1.9

Multiplique $10$ por $0$ .

$- 10 + 0$

Etapa 21.2

Some $- 10$ e $0$ .

$- 10$

Etapa 22

$x = π$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = π$ é um máximo local

Etapa 23

Encontre o valor y quando $x = π$ .

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Etapa 23.1

Substitua a variável $x$ por $π$ na expressão.

$f (π) = 5 \cos^{2} (π)$

Etapa 23.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 23.2.1

Aplique o ângulo de referência encontrando o ângulo com valores trigonométricos equivalentes no primeiro quadrante. Torne a expressão negativa, pois o cosseno é negativo no segundo quadrante.

$f (π) = 5 {(- \cos (0))}^{2}$

Etapa 23.2.2

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1 \cdot 1)}^{2}$

Etapa 23.2.3

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$f (π) = 5 {(- 1)}^{2}$

Etapa 23.2.4

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f (π) = 5 \cdot 1$

Etapa 23.2.5

Multiplique $5$ por $1$ .

$f (π) = 5$

Etapa 23.2.6

A resposta final é $5$ .

$y = 5$

Etapa 24

Esses são os extremos locais para $f (x) = 5 \cos^{2} (x)$ .

$(\frac{π}{2}, 0)$ é um mínimo local

$(\frac{3 π}{2}, 0)$ é um mínimo local

$(0, 5)$ é um máximo local

$(π, 5)$ é um máximo local

Etapa 25