Cálculo Exemplos

$f (x) = 5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Etapa 1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ e $g (x) = 6 + 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 + 5 x$ .

$0 - (\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{5}}] \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Etapa 1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Etapa 1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 + 5 x$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} [6 + 5 x])$

Etapa 1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]))$

Etapa 1.2.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [5 x]))$

Etapa 1.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} [x]))$

Etapa 1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.10.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1))$

Etapa 1.2.12

Multiplique $5$ por $1$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5))$

Etapa 1.2.13

Some $0$ e $5$ .

$0 - (\frac{2}{5} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

Etapa 1.2.14

Combine $\frac{2}{5}$ e ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

Etapa 1.2.15

Combine $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ e $5$ .

$0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Etapa 1.2.16

Multiplique $5$ por $2$ .

$0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Etapa 1.2.17

Mova ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 1.2.18

Fatore $5$ de $10$ .

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 1.2.19

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.19.1

Fatore $5$ de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Etapa 1.2.19.2

Cancele o fator comum.

$0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 1.2.19.3

Reescreva a expressão.

$0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 1.3

Subtraia $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ de $0$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} \frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 2.1.2

Aplique regras básicas de expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Reescreva $\frac{1}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ como ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$

Etapa 2.1.2.2

Multiplique os expoentes em ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{- 1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot - 1}$

Etapa 2.1.2.2.2

Multiplique $\frac{3}{5} \cdot - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.2.2.1

Combine $\frac{3}{5}$ e $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{3 \cdot - 1}{5}}$

Etapa 2.1.2.2.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}}$

Etapa 2.1.2.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- \frac{3}{5}}$ e $g (x) = 6 + 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 + 5 x$ .

$f'' (x) = - 2 (\frac{d}{d u} (u^{- \frac{3}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - \frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} u^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 + 5 x$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.4

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 1 \cdot 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.6

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 3 - 5}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.6.2

Subtraia $5$ de $- 3$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{- 8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.7

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.7.2

Combine ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ e $\frac{3}{5}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{{(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}} \cdot 3}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.7.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.7.3.1

Mova $3$ para a esquerda de ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3 \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}}{5} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.7.3.2

Mova ${(6 + 5 x)}^{- \frac{8}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f'' (x) = - 2 (- \frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.7.3.3

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 2 (\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 2.7.4

Combine $\frac{3}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ e $2$ .

$f'' (x) = \frac{3 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

Etapa 2.7.5

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (6 + 5 x)$

Etapa 2.8

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))$

Etapa 2.9

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (0 + \frac{d}{d x} (5 x))$

Etapa 2.10

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (5 x)$

Etapa 2.11

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = \frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot (5 \frac{d}{d x} (x))$

Etapa 2.12

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.12.1

Combine $5$ e $\frac{6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.12.2

Multiplique $5$ por $6$ .

$f'' (x) = \frac{30}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.12.3

Fatore $5$ de $30$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.13

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1

Fatore $5$ de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}$ .

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}})} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.13.2

Cancele o fator comum.

$f'' (x) = \frac{5 \cdot 6}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.13.3

Reescreva a expressão.

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 2.14

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}} \cdot 1$

Etapa 2.15

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.15.1

Multiplique $\frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$ por $1$ .

$f'' (x) = \frac{6}{{(6 + 5 x)}^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 2.15.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = \frac{6}{{(5 x + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $5 - {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (5) + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

Etapa 4.1.1.2

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 + \frac{d}{d x} (- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}})$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [{(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}]$ .

$f' (x) = 0 - \frac{d}{d x} {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5}}$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{2}{5}}$ e $g (x) = 6 + 5 x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $6 + 5 x$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{d}{d u} (u^{\frac{2}{5}}) \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 4.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{2}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} u^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 4.1.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $6 + 5 x$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} \frac{d}{d x} (6 + 5 x))$

Etapa 4.1.2.3

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 + 5 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6] + \frac{d}{d x} [5 x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (\frac{d}{d x} (6) + \frac{d}{d x} (5 x))))$

Etapa 4.1.2.4

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + \frac{d}{d x} (5 x))))$

Etapa 4.1.2.5

Como $5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $5 x$ em relação a $x$ é $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \frac{d}{d x} (x))))$

Etapa 4.1.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1} (0 + 5 \cdot 1)))$

Etapa 4.1.2.7

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} - 1 \cdot \frac{5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Etapa 4.1.2.8

Combine $- 1$ e $\frac{5}{5}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2}{5} + \frac{- 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Etapa 4.1.2.9

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 1 \cdot 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Etapa 4.1.2.10

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.10.1

Multiplique $- 1$ por $5$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{2 - 5}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Etapa 4.1.2.10.2

Subtraia $5$ de $2$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{\frac{- 3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Etapa 4.1.2.11

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5 \cdot 1)))$

Etapa 4.1.2.12

Multiplique $5$ por $1$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot ({(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} (0 + 5)))$

Etapa 4.1.2.13

Some $0$ e $5$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2}{5} \cdot {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5)$

Etapa 4.1.2.14

Combine $\frac{2}{5}$ e ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = 0 - (\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5} \cdot 5)$

Etapa 4.1.2.15

Combine $\frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$ e $5$ .

$f' (x) = 0 - \frac{2 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}} \cdot 5}{5}$

Etapa 4.1.2.16

Multiplique $5$ por $2$ .

$f' (x) = 0 - \frac{10 {(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}}{5}$

Etapa 4.1.2.17

Mova ${(6 + 5 x)}^{- \frac{3}{5}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{10}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 4.1.2.18

Fatore $5$ de $10$ .

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 4.1.2.19

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.19.1

Fatore $5$ de $5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 ({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}$

Etapa 4.1.2.19.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = 0 - \frac{5 \cdot 2}{5 {(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 4.1.2.19.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = 0 - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 4.1.3

Subtraia $\frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ de $0$ .

$f' (x) = - \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}} = 0$

Etapa 5.2

Defina o numerador como igual a zero.

$2 = 0$

Etapa 5.3

Como $2 \neq 0$ , não há soluções.

Nenhuma solução

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Aplique a regra $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescrever a exponenciação como um radical.

$- \frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$

Etapa 6.2

Defina o denominador em $\frac{2}{\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}$ como igual a $0$ para encontrar onde a expressão está indefinida.

$\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}} = 0$

Etapa 6.3

Resolva $x$ .

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Etapa 6.3.1

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $5$ ª potência.

${\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}}^{5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2

Simplifique cada lado da equação.

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Etapa 6.3.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[5]{{(6 + 5 x)}^{3}}$ como ${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}$ .

${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1

Multiplique os expoentes em ${({(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}})}^{5}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.2

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.2.1.2.1

Cancele o fator comum.

${(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5} \cdot 5} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.2.1.2.2

Reescreva a expressão.

${(6 + 5 x)}^{3} = 0^{5}$

Etapa 6.3.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

${(6 + 5 x)}^{3} = 0$

Etapa 6.3.3

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Defina $6 + 5 x$ como igual a $0$ .

$6 + 5 x = 0$

Etapa 6.3.3.2

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Subtraia $6$ dos dois lados da equação.

$5 x = - 6$

Etapa 6.3.3.2.2

Divida cada termo em $5 x = - 6$ por $5$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.1

Divida cada termo em $5 x = - 6$ por $5$ .

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Etapa 6.3.3.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 x}{5} = \frac{- 6}{5}$

Etapa 6.3.3.2.2.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 6}{5}$

Etapa 6.3.3.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.2.3.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{6}{5}$

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = - \frac{6}{5}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{6}{5}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$\frac{6}{{(5 (- \frac{6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{6}{5}$ para o numerador.

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 9.1.2

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{{(5 (\frac{- 6}{5}) + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 9.1.3

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{{(- 6 + 6)}^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 9.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 9.2.1

Some $- 6$ e $6$ .

$\frac{6}{0^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 9.2.2

Reescreva $0$ como $0^{5}$ .

$\frac{6}{{(0^{5})}^{\frac{8}{5}}}$

Etapa 9.2.3

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Etapa 9.3

Cancele o fator comum de $5$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6}{0^{5 (\frac{8}{5})}}$

Etapa 9.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{6}{0^{8}}$

Etapa 9.4

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$\frac{6}{0}$

Etapa 9.5

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - \frac{6}{5}) \cup (- \frac{6}{5}, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 4$ , do intervalo $(- \infty, - \frac{6}{5})$ na primeira derivada $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 + 5 (- 4))}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique o denominador.

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Etapa 10.2.2.1.1

Multiplique $5$ por $- 4$ .

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(6 - 20)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.2.2.1.2

Subtraia $20$ de $6$ .

$f' (- 4) = - \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.2.2.2

A resposta final é $- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{{(- 14)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $0$ , do intervalo $(- \frac{6}{5}, \infty)$ na primeira derivada $- \frac{2}{{(6 + 5 x)}^{\frac{3}{5}}}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 5 (0))}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1

Simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1

Multiplique $5$ por $0$ .

$f' (0) = - \frac{2}{{(6 + 0)}^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.3.2.1.2

Some $6$ e $0$ .

$f' (0) = - \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.3.2.2

A resposta final é $- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$ .

$- \frac{2}{6^{\frac{3}{5}}}$

Etapa 10.4

Como a primeira derivada mudou os sinais de positivo para negativo em torno de $x = - \frac{6}{5}$ , então $x = - \frac{6}{5}$ é um máximo local.

$x = - \frac{6}{5}$ é um máximo local

Etapa 11