Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 288 x^{2} + 20736$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 288 x^{2} + 20736$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 288 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20736]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 288 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20736]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 288 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20736]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 288 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como $- 288$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 288 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 288 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 x^{3} - 288 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [20736]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 x^{3} - 288 (2 x) + \frac{d}{d x} [20736]$

Etapa 1.2.3

Multiplique $2$ por $- 288$ .

$4 x^{3} - 576 x + \frac{d}{d x} [20736]$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $20736$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20736$ em relação a $x$ é $0$ .

$4 x^{3} - 576 x + 0$

Etapa 1.3.2

Some $4 x^{3} - 576 x$ e $0$ .

$4 x^{3} - 576 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 576 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 576 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 576 x)$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 576 x)$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 576 x)$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 576 x)$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 576 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.3.1

Como $- 576$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 576 x$ em relação a $x$ é $- 576 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 576 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 576 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 576$ por $1$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 576$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 576 x = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 288 x^{2} + 20736$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 288 x^{2}] + \frac{d}{d x} [20736]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (- 288 x^{2}) + \frac{d}{d x} (20736)$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = 4 x^{3} + \frac{d}{d x} (- 288 x^{2}) + \frac{d}{d x} (20736)$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 288 x^{2}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 288$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 288 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 288 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 288 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (20736)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 288 (2 x) + \frac{d}{d x} (20736)$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 288$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 576 x + \frac{d}{d x} (20736)$

Etapa 4.1.3

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $20736$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $20736$ em relação a $x$ é $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 576 x + 0$

Etapa 4.1.3.2

Some $4 x^{3} - 576 x$ e $0$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 576 x$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 576 x$ .

$4 x^{3} - 576 x$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 576 x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 576 x = 0$

Etapa 5.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3} - 576 x$ .

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Etapa 5.2.1.1

Fatore $4 x$ de $4 x^{3}$ .

$4 x (x^{2}) - 576 x = 0$

Etapa 5.2.1.2

Fatore $4 x$ de $- 576 x$ .

$4 x (x^{2}) + 4 x (- 144) = 0$

Etapa 5.2.1.3

Fatore $4 x$ de $4 x (x^{2}) + 4 x (- 144)$ .

$4 x (x^{2} - 144) = 0$

Etapa 5.2.2

Reescreva $144$ como $12^{2}$ .

$4 x (x^{2} - 12^{2}) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.3.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 12$ .

$4 x ((x + 12) (x - 12)) = 0$

Etapa 5.2.3.2

Remova os parênteses desnecessários.

$4 x (x + 12) (x - 12) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 12 = 0$

$x - 12 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x + 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x + 12$ como igual a $0$ .

$x + 12 = 0$

Etapa 5.5.2

Subtraia $12$ dos dois lados da equação.

$x = - 12$

Etapa 5.6

Defina $x - 12$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.6.1

Defina $x - 12$ como igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Etapa 5.6.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$x = 12$

Etapa 5.7

A solução final são todos os valores que tornam $4 x (x + 12) (x - 12) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 12, 12$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, - 12, 12$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 576$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 576$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 576$

Etapa 9.2

Subtraia $576$ de $0$ .

$- 576$

Etapa 10

$x = 0$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 0$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = 0$ .

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Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $0$ na expressão.

$f (0) = {(0)}^{4} - 288 {(0)}^{2} + 20736$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 288 {(0)}^{2} + 20736$

Etapa 11.2.1.2

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$f (0) = 0 - 288 \cdot 0 + 20736$

Etapa 11.2.1.3

Multiplique $- 288$ por $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 20736$

Etapa 11.2.2

Simplifique somando os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Some $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 20736$

Etapa 11.2.2.2

Some $0$ e $20736$ .

$f (0) = 20736$

Etapa 11.2.3

A resposta final é $20736$ .

$y = 20736$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - 12$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(- 12)}^{2} - 576$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$12 \cdot 144 - 576$

Etapa 13.1.2

Multiplique $12$ por $144$ .

$1728 - 576$

Etapa 13.2

Subtraia $576$ de $1728$ .

$1152$

Etapa 14

$x = - 12$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - 12$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- 12$ na expressão.

$f (- 12) = {(- 12)}^{4} - 288 {(- 12)}^{2} + 20736$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Eleve $- 12$ à potência de $4$ .

$f (- 12) = 20736 - 288 {(- 12)}^{2} + 20736$

Etapa 15.2.1.2

Eleve $- 12$ à potência de $2$ .

$f (- 12) = 20736 - 288 \cdot 144 + 20736$

Etapa 15.2.1.3

Multiplique $- 288$ por $144$ .

$f (- 12) = 20736 - 41472 + 20736$

Etapa 15.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Subtraia $41472$ de $20736$ .

$f (- 12) = - 20736 + 20736$

Etapa 15.2.2.2

Some $- 20736$ e $20736$ .

$f (- 12) = 0$

Etapa 15.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 16

Avalie a segunda derivada em $x = 12$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(12)}^{2} - 576$

Etapa 17

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 17.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Multiplique $12$ por ${(12)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1

Multiplique $12$ por ${(12)}^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1.1.1

Eleve $12$ à potência de $1$ .

$12^{1} {(12)}^{2} - 576$

Etapa 17.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$12^{1 + 2} - 576$

Etapa 17.1.1.2

Some $1$ e $2$ .

$12^{3} - 576$

Etapa 17.1.2

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$1728 - 576$

Etapa 17.2

Subtraia $576$ de $1728$ .

$1152$

Etapa 18

$x = 12$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = 12$ é um mínimo local

Etapa 19

Encontre o valor y quando $x = 12$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f (12) = {(12)}^{4} - 288 {(12)}^{2} + 20736$

Etapa 19.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.1.1

Eleve $12$ à potência de $4$ .

$f (12) = 20736 - 288 {(12)}^{2} + 20736$

Etapa 19.2.1.2

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f (12) = 20736 - 288 \cdot 144 + 20736$

Etapa 19.2.1.3

Multiplique $- 288$ por $144$ .

$f (12) = 20736 - 41472 + 20736$

Etapa 19.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 19.2.2.1

Subtraia $41472$ de $20736$ .

$f (12) = - 20736 + 20736$

Etapa 19.2.2.2

Some $- 20736$ e $20736$ .

$f (12) = 0$

Etapa 19.2.3

A resposta final é $0$ .

$y = 0$

Etapa 20

Esses são os extremos locais para $f (x) = x^{4} - 288 x^{2} + 20736$ .

$(0, 20736)$ é um máximo local

$(- 12, 0)$ é um mínimo local

$(12, 0)$ é um mínimo local

Etapa 21